Sebuah batang silindris panjang, yang awalnya bersuhu seragam $T_i$, tiba-tiba dicelupkan ke dalam wadah besar berisi cairan bersuhu $T_\infty < T_i$. Buatlah sketsa distribusi suhu di dalam batang, $T(r)$, pada saat awal, pada kondisi tunak (steady state), dan pada dua waktu antara. Pada grafik yang sama, gambarlah dengan cermat distribusi suhu yang akan terjadi pada waktu-waktu tersebut di dalam batang kedua yang memiliki ukuran sama dengan batang pertama. Massa jenis dan kalor jenis kedua batang tersebut identik, namun konduktivitas termal batang kedua sangat besar. Batang manakah yang akan mencapai kondisi tunak lebih cepat? Tuliskan syarat batas yang sesuai untuk diterapkan pada $r = 0$ dan $r = D/2$ bagi masing-masing batang.
Batang Pertama ($k$ biasa/terbatas)
- Awal ($t = 0$): Suhu di seluruh jari-jari bernilai seragam pada $T_i$.
- Transien ($t_1$ dan $t_2$): Karena konduktivitas termalnya terbatas, terjadi hambatan konduksi internal. Suhu di permukaan luar ($r = D/2$) mendingin lebih cepat daripada di pusat silinder ($r = 0$). Profil suhunya melengkung cembung (cekung ke atas) dengan suhu pusat $T(0, t) > T(D/2, t)$.
- Kondisi Tunak ($t \to \infty$): Karena tidak ada pembangkitan panas internal ($\dot{q} = 0$), seluruh bagian silinder akan mendingin hingga mencapai suhu cairan pendingin $T_\infty$. Profil suhunya menjadi garis lurus horizontal mendatar pada $T(r) = T_\infty$.
Batang Kedua ($k \to \infty$, Lumped Capacitance)
- Karakteristik konduktivitas termal yang sangat besar ($k \to \infty$) membuat angka Biot-nya sangat kecil ($\text{Bi} \to 0$).
- Hambatan konduksi internal dapat diabaikan, sehingga distribusi suhu di dalam batang kedua selalu seragam secara spasial (datar/horizontal) pada setiap saat $t$.
- Suhu batang kedua mendingin dari $T_i$ menuju $T_\infty$ sebagai garis lurus horizontal yang turun secara bersamaan dari pusat hingga permukaan.
Keterangan Sketsa Grafik
- Garis Utuh (Batang 1): Kurva melengkung ke bawah/cembung pada waktu antara $t_1$ dan $t_2$.
- Garis Putus-putus (Batang 2): Garis lurus datar horizontal pada tingkat suhu $t_1$ dan $t_2$ yang berada di bawah nilai puncak pusat Batang 1 (karena pendinginan keseluruhan yang lebih cepat).
Batang Manakah yang Menerima Kondisi Tunak Lebih Cepat?
Batang kedua ($k$ sangat besar) akan mencapai kondisi tunak jauh lebih cepat.
Laju perubahan suhu transien dipengaruhi oleh diffusivitas termal material:
$$\alpha = \frac{k}{\rho c_p}$$
Karena massa jenis ($\rho$) dan kalor jenis ($c_p$) kedua batang identik, tetapi konduktivitas termal Batang 2 jauh lebih besar ($k_2 \gg k_1$), maka diffusivitas termal Batang 2 bernilai sangat tinggi ($\alpha_2 \gg \alpha_1$).
Panas dapat merambat melintasi Batang 2 hampir secara instan dari pusat ke permukaan luarnya tanpa hambatan internal. Akibatnya, pelepasan kalor ke cairan berlangsung jauh lebih efektif secara keseluruhan, sehingga Batang 2 mendingin mencapai suhu $T_\infty$ lebih cepat dibanding Batang 1.
Syarat Batas pada $r = 0$ dan $r = D/2$
Batang Pertama ($k$ Terbatas)
- Pada Pusat Silinder ($r = 0$):
Kondisi simetri termal di mana gradien suhu bernilai nol.
$$\left. \frac{\partial T}{\partial r} \right\vert{}_{r = 0} = 0$$
- Pada Permukaan Luar ($r = D/2$):
Kesetimbangan energi antara konduksi dari dalam silinder dan konveksi ke cairan pendingin.
$$-k \left. \frac{\partial T}{\partial r} \right\vert{}_{r = D/2} = h \left[ T(D/2, t) – T_\infty \right]$$
Batang Kedua ($k \to \infty$)
Karena $k \to \infty$, distribusi suhu di dalam silinder tidak bervariasi terhadap $r$ (berisoterma sempurna), sehingga $T(r, t) = T(t)$.
- Pada Pusat Silinder ($r = 0$):
$$\left. \frac{\partial T}{\partial r} \right\vert{}_{r = 0} = 0 \quad \text{atau} \quad T(0, t) = T(t)$$
- Pada Permukaan Luar ($r = D/2$):
Persamaan neraca energi transien global (Lumped Capacitance Method), di mana penurunan energi dalam silinder sama dengan laju konveksi lepas ke cairan
$$-\rho c_p V \frac{dT}{dt} = h A_s (T(t) – T_\infty)$$
Untuk silinder panjang bersilinder pejal ($V/A_s = D/4$)
$$-\rho c_p \left(\frac{D}{4}\right) \frac{dT}{dt} = h (T(t) – T_\infty)$$
