Sebuah konduktor filamen yang dialiri arus $I$ dengan arah $a_z$ membentang di sepanjang seluruh sumbu $z$ negatif (dari $-\infty$ hingga $0$). Di titik $z = 0$, konduktor ini terhubung dengan sebuah lembaran tembaga (pelat) yang mengisi kuadran pertama ($x > 0, y > 0$) pada bidang $xy$. (a) Susunlah persamaan menggunakan Hukum Biot-Savart dan tentukan intensitas medan magnet ($H$) di sembarang titik pada sumbu $z$. (b) Ulangi bagian (a), namun dengan kondisi lembaran tembaga menutupi seluruh bidang $xy$. (Petunjuk: Nyatakan vektor $a_\phi$ ke dalam komponen $a_x$ dan $a_y$, serta gunakan sudut $\phi$ dalam proses integrasi).
(a) Kuadran Pertama ($x > 0, y > 0$)
Medan dari Filamen (Sumbu $z$ negatif)
Untuk kawat semi-tak berhingga yang membentang dari $z = -\infty$ hingga $z = 0$, medan magnet di sumbu $z$ adalah nol.
Medan dari Lembaran Tembaga (Kuadran I)
Arus mengalir keluar dari titik asal ke seluruh kuadran. Kepadatan arus permukaan $\mathbf{K}$ dalam koordinat silinder adalah:
Hukum Biot-Savart untuk Arus Permukaan:
$dS = \rho \, d\rho \, d\phi$
$\mathbf{r} = z \mathbf{a}_z$ (titik pengamatan)
$\mathbf{r}’ = \rho \mathbf{a}_\rho$ (titik sumber)
$\mathbf{R} = \sqrt{\rho^2 + z^2}$
Perhitungan Integral
Karena $\mathbf{a}_\phi = -\sin\phi \mathbf{a}_x + \cos\phi \mathbf{a}_y$, kita integrasikan $\phi$ dari $0$ hingga $\pi/2$:
Setelah mengintegrasikan bagian radial ($\rho$), hasilnya adalah:
(b) Seluruh Bidang $xy$
Jika lembaran tembaga memenuhi seluruh bidang ($360^\circ$ atau $2\pi$ radian), maka kepadatan arusnya menjadi:
Integrasi Simetri:
Sama seperti bagian (a), namun batas integrasi $\phi$ sekarang dari $0$ hingga $2\pi$.
$$\mathbf{H} = 0$ \text{ di sumbu } $z$ \text{ untuk } $z \neq 0$$
