Salah satu desain sirkuit terintegrasi memerlukan proses difusi aluminium ke dalam wafer silikon; konsentrasi latar belakang Al dalam Si adalah $1,75 \times 10^{19} \text{ atom/m}^3$. Perlakuan panas pra-deposisi akan dilakukan pada suhu $975^\circ \text{C}$ selama $1,25 \text{ jam}$, dengan konsentrasi permukaan konstan sebesar $4 \times 10^{26} \text{ atom/m}^3$. Pada suhu perlakuan drive-in sebesar $1050^\circ \text{C}$, tentukan waktu difusi yang diperlukan untuk mencapai kedalaman sambungan (junction depth) sebesar $1,75 \ \mu \text{m}$. Untuk sistem ini, nilai $Q_d$ dan $D_0$ masing-masing adalah $3,41 \text{ eV/atom}$ dan $1,38 \times 10^{-4} \text{ m}^2/\text{s}$.
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Suhu pra-deposition $(T_p)$: $1248,15 \text{ K}$
- Suhu drive-in $(T_d)$: $1323,15 \text{ K}$
- Waktu pra-deposition $(t_p)$: $4500 \text{ detik}$
- Konsentrasi Latar Belakang $(C_0)$: $1,75 \times 10^{19} \text{ atom/m}^3$
- Konsentrasi Permukaan $(C_s)$: $4 \times 10^{26} \text{ atom/m}^3$
- Kedalaman Sambungan $(x_j)$: $1,75 \times 10^{-6} \text{ m}$
- Energi Aktivasi $(Q_d)$: $3,41 \text{ eV/atom}$
- Faktor pra-eksponensial $(D_0)$: $1,38 \times 10^{-4} \text{ m}^2/\text{s}$
- Konstanta $k$ $(k)$: $8,62 \times 10^{-5} \text{ eV/atom} \cdot \text{K}$
Menentukan Nilai $D_p$
Kita hitung nilai koefisien difusi pre-deposition dengan menggunakan persamaan difusi Arhenius
$$D_p = D_0 \exp \left(-\frac{Q_d}{kT_p} \right)$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$D_p = 1,38 \times 10^{-4} \exp \left(-\frac{3,41}{8,62 \times 10^{-5} \cdot 1248,15} \right)$$
$$D_p = 1,38 \times 10^{-4} \exp \left(-\frac{3,41}{0,107590} \right)$$
$$D_p = 1,38 \times 10^{-4} \exp (-31,694395)$$
$$D_p = 1,38 \times 10^{-4} \cdot 1,718 \times 10^{-14}$$
$$D_p = 2,370 \times 10^{-18} \text{ m}^2/\text{s}$$
Menentukan Nilai $Q_0$
Kita gunakan persamaan untuk jumlah atom terdeposisi selama langkah predeposisi
$$Q_0 = 2 C_s \sqrt{\frac{D_p t_p}{\pi}}$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$Q_0 = 2 \cdot 4 \times 10^{26} \cdot \sqrt{\frac{2,370 \times 10^{-18} \cdot 4500}{3,142857}}$$
$$Q_0 = 8 \times 10^{26} \cdot \sqrt{\frac{1,066 \times 10^{-14}}{3,142857}}$$
$$Q_0 = 8 \times 10^{26} \cdot \sqrt{33,918 \times 10^{-16}}$$
$$Q_0 = 8 \times 10^{26} \cdot 5,823 \times 10^{-8}$$
$$Q_0 = 4,685 \times 10^{19} \text{ atom/m}^2$$
Menentukan Nilai $D_d$
Kita hitung nilai koefisien difusi drive-in dengan menggunakan persamaan difusi Arhenius
$$D_d = D_0 \exp \left(-\frac{Q_d}{kT_d} \right)$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$D_d = 1,38 \times 10^{-4} \exp \left(-\frac{3,41}{8,62 \times 10^{-5} \cdot 1323,15} \right)$$
$$D_d = 1,38 \times 10^{-4} \exp \left(-\frac{3,41}{0,114055} \right)$$
$$D_d = 1,38 \times 10^{-4} \exp (-29,897856)$$
$$D_d = 1,38 \times 10^{-4} \cdot 1,036 \times 10^{-13}$$
$$D_d = 1,429 \times 10^{-17} \text{ m}^2/\text{s}$$
Menentukan Profil Konsentrasi drive-in
Kedalaman sambungan $x_j$ dicari pada posisi di mana konsentrasi hasil difusi drive-in sama dengan konsentrasi latar belakang ($C(x_j, t_d) = C_0 = 1,75 \times 10^{19} \text{ atom/m}^3$). Persamaan profil konsentrasi drive-in (distribusi Gaussian).
$$C(x, t_d) = \frac{Q_0}{\sqrt{\pi D_d t_d}} \exp \left( -\frac{x^2}{4 D_d t_d} \right)$$
Mengingat posisi kedalaman terukur tidak ada, rumus kita ubah menjadi
$$C(x, t_d) = \frac{Q_0}{\sqrt{\pi D_d t_d}}$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$C(0, t_d) = \frac{4,685 \times 10^{19}}{\sqrt{3,142857 \cdot 1,429 \times 10^{-17} \cdot t_d}}$$
$$C(0, t_d) = \frac{4,685 \times 10^{19}}{\sqrt{4,491 \times 10^{-17} \cdot t_d}}$$
$$C(0, t_d) = \frac{4,685 \times 10^{19}}{\sqrt{4,491 \times 10^{-17}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t_d}}$$
$$C(0, t_d) = \frac{4,685 \times 10^{19}}{\sqrt{44,911 \times 10^{-18}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t_d}}$$
$$C(0, t_d) = \frac{4,685 \times 10^{19}}{6,701 \times 10^{-9}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t_d}}$$
$$C(0, t_d) = \frac{6,997 \times 10^{27}}{\sqrt{t_d}}$$
Menentukan Waktu Difusi drive-in
Kita hitung nilai $xj$ menggunakan rumus yang ada
$$x_j = \sqrt{4 D_d t_d \cdot \ln \left(\frac{C(0, t_d)}{C_0} \right)}$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$1,75 \times 10^{-6} = \sqrt{4 \cdot 1,429 \times 10^{-17} \cdot t_d \cdot \ln \left(\frac{\frac{6,997 \times 10^{27}}{\sqrt{t_d}}}{1,75 \times 10^{19}} \right)}$$
$$1,75 \times 10^{-6} = \sqrt{5,716 \times 10^{-17} \cdot t_d} \cdot \sqrt{\ln \left(\frac{\frac{6,997 \times 10^{27}}{\sqrt{t_d}}}{1,75 \times 10^{19}} \right)}$$
$$\frac{1,75 \times 10^{-6}}{\sqrt{5,716 \times 10^{-17} \cdot t_d}} = \sqrt{\ln \left(\frac{\frac{6,997 \times 10^{27}}{\sqrt{t_d}}}{1,75 \times 10^{19}} \right)}$$
$$\frac{3,062 \times 10^{-12}}{5,716 \times 10^{-17} \cdot t_d} = \ln \left(\frac{\frac{6,997 \times 10^{27}}{\sqrt{t_d}}}{1,75 \times 10^{19}} \right)$$
$$\frac{3,062 \times 10^{-12}}{5,716 \times 10^{-17}} \cdot \frac{1}{t_d} = \ln \left(\frac{6,997 \times 10^{27}}{1,75 \times 10^{19}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t_d}} \right)$$
$$\frac{53568,929}{t_d} = \ln \left(\frac{3,998 \times 10^{8}}{\sqrt{t_d}} \right)$$
$$53568,929 \cdot \frac{1}{t_d} = \ln(3,998 \times 10^{8}) – \ln({\sqrt{t_d}})$$
$$53568,929 = t_d(19,806474 – \ln({\sqrt{t_d}}))$$
Melalui metode numerik, kita memperoleh nilai waktu kedua
$$\mathbf{t_2 = 3403 \text{ detik}}$$
