Hitunglah bilangan kompleks berikut dan nyatakan hasilnya dalam bentuk rektangular:
(a) $\frac{15 \angle 45^\circ}{3 – j4} + j2$
(b) $\frac{8 \angle -20^\circ}{(2 + j)(3 – j4)} + \frac{10}{-5 + j12}$
(c) $10 + (8 \angle 50^\circ)(5 – j12)$
Nah, untuk mengerjakan soal ini, kita bisa menggunakan cara untuk mengubah nilai $a \pm bj$ menjadi $r \angle \pm \theta$
(a) $\frac{15 \angle 45^\circ}{3 – j4} + j2$
Karena penyebut dalam bentuk $a \pm bj$, kita harus mengubah penyebutnya menjadi polar. Caranya adalah menggunakan $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ dan $\theta = \tan^{-1}(b/a)$
- Cari nilai r:
$$r = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
- Cari nilai $\theta$:
$$\theta = \tan^{-1}((-4)/3) = \tan^{-1}(-1,333) = -53,13^\circ$$
Dengan demikian, hasilnya adalah:
$$5 \angle -53,13^\circ$$
Selanjutnya kita substitusi hasilnya menjadi penyebut yang dikonversi ke dalam bentuk polar dan kita lakukan pembagian
$$\frac{15 \angle 45^\circ}{5 \angle -53,13^\circ} = \frac{15}{5} \angle (45^\circ – (-53,13^\circ))$$
$$\frac{15 \angle 45^\circ}{5 \angle -53,13^\circ} = 3 \angle 98,13^\circ$$
Kita ubah kembali ke dalam rektangular menggunakan fungsi sinus dan kosinus
$$x = 3 \cos(98,13^\circ) \approx -0,424$$
$$y = 3 \sin(98,13^\circ) \approx 2,970$$
Dengan demikian, hasilnya adalah
$$-0,424 + j2,970$$
Jangan lupa untuk menambahkan $j2$
$$(-0,424 + j2,970) + j2$$
$$\mathbf{-0,424 + j4,970}$$
(b) $\frac{8 \angle -20^\circ}{(2 + j)(3 – j4)} + \frac{10}{-5 + j12}$
Selesaikan Bagian Kiri
Nah, disini karena penyebutnya berupa persamaan kuadrat setelah dikalikan, kita bisa mengabaikan $j^2$ dan menganggapnya sebagai $-1$
Kita cari hasil penyebut kiri dahulu:
$$(2 + j)(3 – j4) = 6 – j8 + j3 – j^24 = 6 – j5 + 4 = 10 – j5$$
Sama seperti sebelumnya, kita ubah bentuk rektangular menjadi bentuk polar
- Cari nilai r:
$$r = \sqrt{10^2 + (-5)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 11,18$$
- Cari nilai $\theta$:
$$\theta = \tan^{-1}(-5/10) = \tan^{-1}(-0,5) = -26,56^\circ$$
Dengan demikian, hasilnya adalah:
$$11,18 \angle -26,56^\circ$$
Sama seperti sebelumnya, penyebut dikonversi ke dalam bentuk polar dan dibagi
$$\frac{8 \angle -20^\circ}{11,18 \angle -26,56^\circ} = \frac{8}{11,18} \angle (-20^\circ – (-26,56^\circ))$$
$$\frac{8 \angle -20^\circ}{11,18 \angle -26,56^\circ} = 0,7155 \angle 6,56^\circ$$
Kita ubah menjadi bentuk rektangular
$$x = 0,7155 \cos(6,56^\circ) \approx 0,710$$
$$y = 0,7155 \sin(6,56^\circ) \approx 0,081$$
Dengan demikian, hasilnya adalah
$$0,710 + j0,081$$
Selesaikan Bagian Kanan
Kita ubah bentuk penyebut pada pecahan kedua menjadi bentuk polar
- Cari nilai r:
$$r = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
- Cari nilai $\theta$:
$$\theta = \tan^{-1}(12/(-5)) = \tan^{-1}(-2,4) = 112,62^\circ$$ (kuadran II)
Dengan demikian, hasilnya adalah:
$$13 \angle 112,62^\circ$$
Sama seperti sebelumnya, penyebut dikonversi ke dalam bentuk polar dan dibagi
$$\frac{10 \angle 0^\circ}{13 \angle 112,62^\circ} = \frac{10}{13} \angle (0^\circ – 112,62^\circ))$$
$$\frac{10 \angle 0^\circ}{13 \angle 112,62^\circ} = 0,7672 \angle -112,62^\circ$$
Kita ubah menjadi bentuk rektangular
$$x = 0,7672 \cos((-112,62)^\circ) \approx -0,295$$
$$y = 0,7672 \sin((-112,62)^\circ) \approx -0,708$$
Dengan demikian, hasilnya adalah
$$-0,295 – j0,708$$
Jumlahkan Kedua Bagian
Sekarang, kita tinggal menjumlahkan kedua hasilnya
$$(0,710 + j0,081) + (-0,295 – j0,708)$$
$$(0,710 – 0,295) + (j0,081 – j0,708)$$
$$\mathbf{0,415 – j0,627}$$
(c) $10 + (8 \angle 50^\circ)(5 – j12)$
Untuk kemudahan perkalian, kita ubah bagian rektangular menjadi bagian polar.
- Cari nilai r:
$$r = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144}$ = \sqrt{169} = 13$$
- Cari nilai $\theta$:
$$\theta = \tan^{-1}(-12/(5)) = \tan^{-1}(-2,4) = -67,38^\circ$$ (kuadran IV)
Dengan demikian, hasilnya adalah:
$$13 \angle -67,38^\circ$$
Sekarang, kita kalikan kedua bentuk polar tersebut
$$(8 \angle 50^\circ)(13 \angle -67,38^\circ) = (8 \times 13) \angle (50^\circ – 67,38^\circ)$$
$$(8 \angle 50^\circ)(13 \angle -67,38^\circ) = 104 \angle -17,38^\circ$$
Kita ubah menjadi bentuk rektangular
$$x =104 \cos(-17,38^\circ) \approx 99,251$$
$$y = 104 \sin(-17,38^\circ)Â \approx -31,065$$
Dengan demikian, hasilnya adalah
$$99,251 – j31,065$$
Jangan lupa untuk menambahkan $10$
$$(99,251 – j31,065) + 10$$
$$\mathbf{109,251 – j31,065}$$
