Sebuah dinding datar dengan ketebalan $L = 0,1 \text{ m}$ mengalami pemanasan volumetrik seragam dengan laju $\dot{q}$. Salah satu permukaan dinding $(x = 0)$ diisolasi, sedangkan permukaan lainnya terpapar fluida pada suhu $T_\infty = 20^\circ \text{C}$, dengan perpindahan panas konveksi yang dicirikan oleh $h = 1000 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$. Awalnya, distribusi suhu di dalam dinding adalah $T(x, 0) = a + bx^2$, dengan $a = 300^\circ \text{C}$, $b = -1 \times 10^4 {}^\circ \text{C/m}^2$, dan $x$ dalam satuan meter. Tiba-tiba, pembangkitan panas volumetrik dihentikan ($q̇ = 0$ untuk $t > 0$), sementara perpindahan panas konveksi terus berlangsung pada $x = L$. Sifat-sifat dinding tersebut adalah $\rho = 7000 \text{ kg/m}^3$, $c_p = 450 \text{ J/kg} \cdot \text{K}$, dan $k = 90 \text{ W/m} \cdot \text{K}$.
(a) Tentukan besarnya laju pembangkitan energi volumetrik $q$ yang terkait dengan kondisi awal ($t < 0$).
(b) Pada koordinat $T-x$, buatlah sketsa distribusi suhu untuk kondisi-kondisi berikut: kondisi awal ($t < 0$), kondisi tunak ($t \to \infty$), dan dua kondisi antara.
(c) Pada koordinat $q”_x – t$, buatlah sketsa variasi fluks panas terhadap waktu pada batas yang mengalami proses konveksi, $q”_x(L, t)$. Hitung nilai fluks panas yang bersesuaian pada $t = 0$, yaitu $q”_x(L, 0)$.
(d) Hitung jumlah energi yang dilepaskan dari dinding per satuan luas ($\text{ J/m}^2$) oleh aliran fluida saat dinding mendingin dari kondisi awal menuju kondisi tunak.
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Ketebalan Dinding ($L$): $0,1 \text{ m}$
- Suhu Fluida ($T_\infty$): $20^\circ \text{C}$
- Koefisien Konveksi ($h$): $1000 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$
- Fungsi Suhu ($T(x, 0)$): $a + bx^2$
- Konstanta a ($a$): $300^\circ \text{C}$
- Konstanta b ($b$): $-1 \times 10^4 {}^\circ \text{C/m}^2$
- Massa Jenis ($\rho$): $7000 \text{ kg/m}^3$
- Kalor Jenis Tekanan Konstan ($c_p$): $450 \text{ J/kg} \cdot \text{K}$
- Konduktivitas Termal ($k$): $90 \text{ W/m} \cdot \text{K}$
(a) Menentukan Laju Pembangkitan Energi Volumetrik $\dot{q}$ ($t < 0$)
Pada kondisi awal ($t \le 0$), sistem berada dalam kondisi tunak (steady-state). Persamaan difusi panas 1D dengan pembangkitan panas adalah:
$$k \frac{d^2 T}{d x^2} + \dot{q} = 0$$
$$\frac{d^2 T}{d x^2} + \frac{\dot{q}}{k} = 0$$
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = -\frac{\dot{q}}{k}$$
Kita turunkan suhu terhadap posisi untuk pertama kalinya
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx} \left[a + bx^2 \right]$$
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx} [a] + \frac{d}{dx} [bx^2]$$
$$\frac{dT}{dx} = 2bx$$
Kita turunkan suhu terhadap posisi untuk kedua kalinya
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = \frac{d}{dx} [2bx]$$
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = 2b$$
Kita manipulasi rumus untuk mencari laju penyimpanan panas volumetrik
$$-\frac{\dot{q}}{k} = 2b \rightarrow \dot{q} = -2bk$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$\dot{q} = -2 \cdot (-1 \times 10^4) \cdot 90$$
$$\dot{q} = 1,8 \times 10^6 \text{ W/m}^3$$
(b) Sketsa Distribusi Suhu $T-x$
Perilaku distribusi suhu pada beberapa kondisi waktu:
- Kondisi Awal ($t \le 0$): Profil berbentuk parabola cembung $T(x) = 300 – 10^4 x^2$.
- Pada $x = 0 \implies x = 0 \text{ m} \implies T(0) = 300 – 10^4 (0)^2 \rightarrow T(0) = 300 – 10000 \cdot 0 = 300 – 0 \rightarrow \mathbf{T(0) = 300^\circ\text{C}}$.
- Pada $x = L \implies x = 0,1 \text{ m} \implies T(L) = 300 – 10^4 (0,1)^2 \rightarrow T(L) = 300 – 10000 \cdot 0,01 = 300 – 100 \rightarrow \mathbf{T(L) = 200^\circ\text{C}}$.
- Kondisi Transien ($t_1$ dan $t_2$, dengan $0 < t_1 < t_2$): Karena $\dot{q} = 0$, dinding melepaskan energi simpanannya secara perlahan ke fluida. Profil suhu melandai turun, dengan permukaan $x = 0$ tetap memiliki gradien nol.
- Kondisi Tunak ($t \to \infty$): Dinding mencapai kesetimbangan termal dengan fluida sekitar. Seluruh bagian dinding berada pada suhu seragam $T(x) = T_\infty = \mathbf{20^\circ\text{C}}$.
(c) Variasi Fluks Panas $q”_x(L, t)$ dan Evaluasi pada $t = 0$
Berdasarkan Hukum Fourier di batas konveksi $x = L$:
$$q”_x(L, t) = -k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right \vert{}_{x = L}$$
$$q”_x(L, t) = -k \cdot (2bL)$$
$$q”_x(L, t) = -2bkL$$
Untuk $t = 0$, dengan $\left. \frac{dT}{dx} \right\vert{}_{x = L} = 2 b L$:
$$q”_x(L, 0) = -2bkL$$
$$q”_x(L, 0) = -2 \cdot -1 \times 10^4 \cdot 90 \cdot 0,1$$
$$q”_x(L, 0) = 1,8 \times 10^5 \text{ W/m}^2$$
Seiring bertambahnya waktu ($t > 0$), fluks panas $q”_x(L, t)$ terus menurun secara eksponensial dari $180000 \text{ W/m}^2$ menuju $0 \text{ W/m}^2$ saat $t \to \infty$.
(d) Energi Total yang Dilepaskan Per Satuan Luas ($Q”$)
Jumlah energi total per satuan luas yang dilepaskan dinding saat mendingin dari kondisi awal ($t = 0$) ke kondisi akhir ($t \to \infty$) sama dengan perubahan energi dalam simpanan dinding per unit luas ($\Delta E”_{st}$):
$$Q” = E”_{st, awal} – E”_{st, akhir}$$
$$Q” = \int_{0}^{L} \rho c_p [T(x, 0) – T_\infty]dx$$
$$Q” = \int_{0}^{L} \rho c_p [a + bx^2 – T_\infty]dx$$
$$Q” = \rho c_p \int_{0}^{L} [a – T_\infty + bx^2] dx$$
$$Q” = \rho c_p \left[(a – T_\infty)x + \frac{bx^3}{3} \right]_0^L$$
$$Q” = \rho c_p \left[(a – T_\infty)(L) + \frac{b(L)^3}{3} – (a – T_\infty)(0) + \frac{b(0)^3}{3} \right]_0^L$$
$$Q” = \rho c_p \left[a \cdot L – T_\infty \cdot L + \frac{b \cdot L^3}{3} \right]$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$Q” = \rho c_p \left[a \cdot L – T_\infty \cdot L + \frac{b \cdot L^3}{3} \right]$$
$$Q” = 7000 \cdot 450 \left[300 \cdot 0,1 – 20 \cdot 0,1 + \frac{-1 \times 10^4 \cdot (0,1)^3}{3} \right]$$
$$Q” = 3150000 \left[30 – 2 + \frac{-1 \times 10^4 \cdot 0,001}{3} \right]$$
$$Q” = 3150000 \left[28 + \frac{-10}{3} \right]$$
$$Q” = 3150000 \left[\frac{84}{3} – \frac{10}{3} \right]$$
$$Q” = 3150000 \cdot \frac{74}{3}$$
$$Q” = 777000000 \text{ J/m}^2$$
