Evaluasi bilangan kompleks berikut:
​(a) $\frac{2 + j3}{1 – j6} + \frac{7 – j8}{-5 + j11}$
​(b) $\frac{(5 \angle 10^\circ)(10 \angle -40^\circ)}{(4 \angle -80^\circ)(-6 \angle 50^\circ)}$
​(c) $\begin{vmatrix} 2 + j3 & -j2 \\ -j2 & 8 – j5 \end{vmatrix}$
Untuk mengerjakan soal ini, kita perlu memahami trik perkalian dan pembagian antara bilangan rektangular dan polar.
Kamu bisa mengunjungi artikel ini untuk mempelajari perkalian bentuk rektangular ataupun polar.
(a) $\frac{2 + j3}{1 – j6} + \frac{7 – j8}{-5 + j11}$
Untuk mengerjakan soal ini, kita perlu tahu rasionalisasi bilangan imajiner, dimana kita cukup mengalikan suatu pecahan dengan penyebut per penyebut dalam bentuk berlawanan.
Jika bingung, maksudnya adalah seperti ini.
$$\frac{a \pm bj}{c + dj} × \frac{c – dj}{c – dj}$$
$$\frac{a \pm bj}{c – dj} × \frac{c + dj}{c + dj}$$
Catatan: $j^2 = -1$
Selesaikan Pecahan Kiri
$$\frac{2 + j3}{1 – j6} \times \frac{1 + j6}{1 + j6} = \frac{2 + j12 + j3 + j^2 18}{1^2 – j^2 26^2}$$
$$\frac{2 + j3}{1 – j6} \times \frac{1 + j6}{1 + j6} = \frac{2 + j15 – 18}{1 + 36}$$
$$\frac{2 + j3}{1 – j6} \times \frac{1 + j6}{1 + j6} = \frac{-16 + j15}{37}$$
$$\frac{2 + j3}{1 – j6} \times \frac{1 + j6}{1 + j6} \approx -0,432 + j0,405$$
Selesaikan Pecahan Kanan
$$\frac{7 – j8}{-5 + j11} \times \frac{-5 – j11}{-5 – j11} = \frac{-35 – j77 + j40 + j^2 88}{(-5)^2 – j^2 11^2}$$
$$\frac{7 – j8}{-5 + j11} \times \frac{-5 – j11}{-5 – j11} = \frac{-35 – j37 – 88}{25 + 121}$$
$$\frac{7 – j8}{-5 + j11} \times \frac{-5 – j11}{-5 – j11} = \frac{-123 – j37}{146}$$
$$\frac{7 – j8}{-5 + j11} \times \frac{-5 – j11}{-5 – j11} \approx -0,842 – j0,253$$
Jumlahkan Hasilnya
$$(-0,432 + j0,405) + (-0,842 – j0,253)$$
$$\mathbf{-1,274 + j0,152}$$
(b) $\frac{(5 \angle 10^\circ)(10 \angle -40^\circ)}{(4 \angle -80^\circ)(-6 \angle 50^\circ)}$
Kita tinggal kalikan saja kedua bilangan polar pada pembilang dan penyebut lalu membagi hasilnya
- Bagian pembilang:
$$(5 \angle 10^\circ)(10 \angle -40^\circ) = (5 \times 10) \angle (10^\circ – 40^\circ)$$
$$(5 \angle 10^\circ)(10 \angle -40^\circ) = 50 \angle -30^\circ$$
- Bagian penyebut:
$$(4 \angle -80^\circ)(6 \angle 230^\circ) = (4 \times 6) \angle (-80^\circ + 230^\circ)$$
$$(4 \angle -80^\circ)(6 \angle 230^\circ) = 24 \angle 150^\circ$$
- Pembagian kedua hasil:
$$\frac{50 \angle -30^\circ}{24 \angle 150^\circ} = \frac{50}{24} \angle (-30^\circ – 150^\circ)$$
$$\frac{50 \angle -30^\circ}{24 \angle 150^\circ} = 2,083 \angle -180^\circ$$
- Ubah ke rektangular
$$x = 2,083 \cos(-180^\circ) = -2,083$$
$$y = 2,083 \sin(-180^\circ) = 0$$
$$\mathbf{-2,083}$$
(c) $\begin{vmatrix} 2 + j3 & -j2 \\ -j2 & 8 – j5 \end{vmatrix}$
Untuk menyelesaikan determinan matriks, kita gunakan cara $ad-bc$
$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$
$$\text{determinan} = ad – bc$$
Catatan: $j^2 = -1$
$$\begin{vmatrix} 2 + j3 & -j2 \\ -j2 & 8 – j5 \end{vmatrix}$$
$$\text{determinan} = (2 + j3)(8 – j5) – (-j2)(-j2)$$
$$\text{determinan} = (16 – j10 + j24 +15) – (j^2 2^2)$$
$$\text{determinan} = 31 + j14 + 4$$
$$\text{determinan} = 35 + j14$$
