Sebuah partikel berbentuk bola dengan jari-jari $r_1$ mengalami pembangkitan panas seragam dengan laju $q$. Partikel tersebut diselubungi oleh cangkang bola dengan jari-jari luar $r_2$ yang didinginkan oleh udara sekitar. Konduktivitas termal partikel dan cangkang masing-masing adalah $k_1$ dan $k_2$, dengan $k_1 = 2k_2$.
(a) Dengan menerapkan prinsip kekekalan energi pada volume kendali bola A, yang ditempatkan pada lokasi sembarang di dalam bola, tentukan hubungan antara gradien suhu $\frac{dT}{dr}$ dan jari-jari lokal $r$, untuk $0 \leq r \leq r_1$.
(b) Dengan menerapkan prinsip kekekalan energi pada volume kendali bola B, yang ditempatkan pada lokasi sembarang di dalam cangkang bola, tentukan hubungan antara gradien suhu $\frac{dT}{dr}$ dan jari-jari lokal $r$, untuk $r_1 \leq r \leq r_2$.
(c) Pada koordinat $T − r$, buatlah sketsa distribusi suhu untuk rentang $0 \leq r \leq r_2$.
(a) Hubungan Gradien Suhu di Dalam Partikel Bola ($0 \leq r \leq r_1$)
Tinjau Volume Kendali Bola A dengan jari-jari sembarang $r$ di mana $0 \le r \le r_1$:
- Volume bola kendali A ($V_A$): $V_A = \frac{4}{3} \pi r^3$
- Luas permukaan bola kendali A ($A_r$): $A_r = 4 \pi r^2$
Kita hitung laju pembangkitan energi di dalam bola A:
$$\dot{E}_{gen} = \dot{q} \cdot V_A \rightarrow \dot{E}_{gen} = \dot{q} \left(\frac{4}{3} \pi r^3 \right)$$
Kita hitung laju konduksi panas yang keluar melalui permukaan bola A:
$$\dot{E}_{out} = q_r$$
$$\dot{E}_{out} = -k_1 A_r \frac{dT_1}{dr}$$
$$\dot{E}_{out} = -k_1 (4 \pi r^2) \frac{dT_1}{dr}$$
Berdasarkan prinsip kekekalan energi pada kondisi tunak (steady-state):
$$\dot{E}_{gen} = \dot{E}_{out}$$
$$\dot{q} \left(\frac{4}{3} \pi r^3 \right) = -k_1 (4 \pi r^2) \frac{dT_1}{dr}$$
$$\dot{q} \left(\frac{1}{3} r \right) = -k_1 \frac{dT_1}{dr}$$
$$-\frac{\dot{q} r}{3 k_1} = \frac{dT_1}{dr}$$
Sehingga kita bisa menyimpulkan dua jawaban:
$$\mathbf{\frac{dT_1}{dr} = -\frac{\dot{q} r}{3 k_1}}$$
$$\mathbf{\frac{dT_1}{dr} = -\frac{\dot{q} r}{6 k_2}}$$
Gradien suhu di dalam partikel berbanding lurus secara linear dengan jari-jari $r$ dan bernilai negatif (suhu makin turun ke arah luar).
(b) Hubungan Gradien Suhu di Dalam Cangkang Bola ($r_1 \leq r \leq r_2$)
Tinjau Volume Kendali Bola B dengan jari-jari sembarang $r$ di mana $r_1 \le r \le r_2$:
- Total volume pembangkitan di dalam $r_1$: $V_1 = \frac{4}{3} \pi r_1^3$
- Luas permukaan bola B pada jari-jari $r$ ($A_r$): $A_r = 4 \pi r^2$
Kita hitung laju pembangkitan energi di dalam bola B:
$$\dot{E}_{gen} = \dot{q} \cdot V_A \rightarrow \dot{E}_{gen} = \dot{q} \left(\frac{4}{3} \pi r_1^3 \right)$$
Kita hitung laju konduksi panas yang keluar melalui permukaan bola A:
$$\dot{E}_{out} = q_r$$
$$\dot{E}_{out} = -k_2 A_r \frac{dT_2}{dr}$$
$$\dot{E}_{out} = -k_2 (4 \pi r_2^2) \frac{dT_2}{dr}$$
Berdasarkan prinsip kekekalan energi pada kondisi tunak (steady-state):
$$\dot{E}_{gen} = \dot{E}_{out}$$
$$\dot{q} \left(\frac{4}{3} \pi r_1^3 \right) = -k_2 (4 \pi r_2^2) \frac{dT_2}{dr}$$
$$\dot{q} \left(\frac{1}{3} r_1^3 \right) = -k_2 \cdot r_2^2 \cdot \frac{dT_2}{dr}$$
$$-\frac{\dot{q} r_1^3}{3 k_2 r_2^2} = \frac{dT_2}{dr}$$
Sehingga kita bisa menyimpulkan
$$\mathbf{\frac{dT_2}{dr} = -\frac{\dot{q} r_1^3}{3 k_2 r_2^2}}$$
Gradien suhu di dalam cangkang berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari $r^2$ ($\frac{dT}{dr} \propto -\frac{1}{r^2}$).
(c) Sketsa Distribusi Suhu $T – r$ ($0 \leq r \leq r_2$)
Untuk membuat sketsa distribusi suhu yang tepat, perhatikan fitur-fitur utama berikut:
- Di Pusat Bola ($r = 0$):
Gradien suhu bernilai nol ($\frac{dT}{dr} \Big \vert{}_{r = 0} = 0$), sehingga kurva berbentuk horizontal di pusat dan mencapai suhu puncak $T_{max}$.
- Di Dalam Partikel ($0 < r < r_1$):
Profil suhu berbentuk parabola cekung ke bawah ($T \propto -r^2$), dengan kelengkungan melandai turun menuju antarmuka $r_1$.
- Di Antarmuka ($r = r_1$):
Suhu bersifat kontinu ($T_1(r_1) = T_2(r_1)$).
Karena kesetimbangan fluks kalor $\left(k_1 \left. \frac{dT_1}{dr} \right \vert{}_{r_1} = k_2 \left. \frac{dT_2}{dr} \right \vert{}_{r_1} \right)$ dan diketahui $(k_1 = 2k_2)$ maka kemiringan di sisi cangkang 2 kali lebih curam dibanding di sisi partikel $\left(\left. \frac{dT_2}{dr} \right\vert{}_{r_1} = 2 \left. \frac{dT_1}{dr} \right\vert{}_{r_1} \right)$
- Di Dalam Cangkang ($r_1 < r \leq r_2$):
Profil suhu berbentuk kurva hiperbolik/cekung ke atas ($T \propto \frac{1}{r}$).
- Di Permukaan Luar ($r = r_2$):
Suhu permukaan $T(r_2) > T_\infty$, kemudian mengalami penurunan konveksi ke udara sekitar.
