Transfer Kalor dan Massa – Perkenalan Konduksi Bagian 2.4

Untuk menentukan pengaruh ketergantungan konduktivitas termal terhadap suhu pada distribusi suhu di dalam suatu benda padat, tinjaulah suatu material yang ketergantungannya dapat dinyatakan sebagai

$$k = k_o + aT$$

dengan $k_o$ sebagai konstanta positif dan $a$ sebagai koefisien yang dapat bernilai positif atau negatif. Buatlah sketsa distribusi suhu keadaan tunak (steady-state) yang terkait dengan perpindahan panas pada dinding datar untuk tiga kasus, yaitu $a > 0$, $a = 0$, dan $a < 0$.

Untuk konduksi 1D steady-state tanpa pembangkitan panas internal pada dinding datar (luas penampang $A$ konstan), laju perpindahan panas $q_x$ dan fluks panas $q”_x$ bernilai konstan:

$$q”_x = -k(T) \frac{dT}{dx}$$

$$q”_x = -(k_o + aT) \frac{dT}{dx}$$

$$q”_x = \text{konstan}$$

Sehingga gradien suhunya adalah:

$$\frac{dT}{dx} = -\frac{q”_x}{k_o + aT}$$

Misalkan suhu pada $x = 0$ adalah $T_1$ dan pada $x = L$ adalah $T_2$ dengan $T_1 > T_2$. Karena panas mengalir dari $T_1$ ke $T_2$, maka $T(x)$ akan terus menurun dari $x = 0$ ke $x = L$.

Kasus 1: $a = 0$ ($k = k_o = \text{konstan}$)

1. $k(T)$ bernilai konstan sepanjang dinding.
2. Gradien suhu $\frac{dT}{dx}$ bernilai konstan.
3. Profil suhu $T(x)$ berupa garis lurus (linier).

Kasus 2: $a > 0$ ($k$ meningkat seiring tingginya suhu)

1. Karena $T_1 > T_2$, maka di daerah dekat $x = 0$ suhunya lebih tinggi $\implies k$ lebih besar.
2. Pada daerah dengan $k$ tinggi, dibutuhkan gradien suhu $\left\vert{}\frac{dT}{dx}\right\vert{}$ yang lebih landai untuk mengalirkan fluks panas yang sama.
3. Seiring berjalannya $x$ menuju $x = L$, suhu $T$ menurun $\implies k$ mengecil $\implies$ gradien $\left\vert{}\frac{dT}{dx}\right\vert{}$ menjadi lebih curam.
4. Profil kurva $T(x)$ berbentuk cekung ke atas (concave up).

Kasus 3: $a < 0$ ($k$ menurun seiring tingginya suhu)

1. Di daerah dekat $x = 0$ (suhu tinggi), nilai $k$ lebih kecil.
2. Pada daerah dengan $k$ rendah, gradien suhu $\left\vert{}\frac{dT}{dx}\right\vert{}$ harus lebih curam.
3. Seiring berjalannya $x$ menuju $x = L$, suhu $T$ menurun $\implies k$ membesar $\implies$ gradien $\left\vert{}\frac{dT}{dx}\right\vert{}$ menjadi lebih landai.
4. Profil kurva $T(x)$ berbentuk cembung ke atas (concave down).

Persamaan analitis untuk $T(x)$ diperoleh dengan mengintegrasikan $q”_x dx = -(k_o + aT) dT$:

$$q”_x \cdot x = k_o(T_1 – T) + \frac{a}{2}(T_1^2 – T^2)$$