Sebuah cangkang bola dengan jari-jari dalam $r_1$ dan jari-jari luar $r_2$ memiliki suhu permukaan masing-masing $T_1$ dan $T_2$, dengan $T_1 > T_2$. Buatlah sketsa distribusi suhu pada koordinat $T − r$ dengan asumsi konduksi satu dimensi dalam keadaan tunak serta sifat-sifat material yang konstan. Berikan penjelasan singkat mengenai bentuk kurva kamu.
Penjelasan Bentuk Kurva
Persamaan Laju Panas dan Distribusi Suhu:
Pada koordinat bola, luas permukaan perpindahan panas adalah $A(r) = 4\pi r^2$. Untuk kondisi steady-state 1D tanpa pembangkitan panas internal, laju perpindahan panas $q_r$ konstan:
$$q_r = -k A(r) \frac{dT}{dr}$$
$$q_r = -k (4\pi r^2) \frac{dT}{dr}$$
$$q_r = \text{konstan}$$
Mengintegrasikan persamaan diferensial di atas dari $r_1$ ke $r$ menghasilkan fungsi distribusi suhu hiperbolik (proporsional terhadap $1/r$):
$$T(r) = T_1 – (T_1 – T_2) \cdot \frac{1/r_1 – 1/r}{1/r_1 – 1/r_2}$$
Gradien Suhu ($\frac{dT}{dr}$):
Besarnya gradien suhu lokal didefinisikan oleh:
$$\frac{dT}{dr} = -\frac{q_r}{4\pi k} \cdot \frac{1}{r^2}$$
- Karena $q_r$ dan $k$ konstan, maka magnitudo kemiringan kurva $\left\vert{}\frac{dT}{dr}\right\vert{} \propto \frac{1}{r^2}$.
- Seiring bertambahnya radius $r$ dari $r_1$ ke $r_2$, luas penampang $A(r)$ bertambah secara kuadratis.
- Hal ini menyebabkan gradien suhu $\left\vert{}\frac{dT}{dr}\right\vert{}$ menurun jauh lebih cepat (melandai lebih tajam) dibandingkan pada geometri silinder ($\propto 1/r$). Profil kurva $T(r)$ berbentuk hiperbolik/cekung ke atas (concave up).
