Perhatikan geometri Soal 2.8 untuk kasus di mana konduktivitas termal berubah terhadap suhu sesuai persamaan $k = k_o + aT$, dengan $k_o = 10 \text{ W/m} \cdot \text{K}$, $a = −10^{-3} \text{ W/m} \cdot \text{K}^2$, dan $T$ dalam satuan Kelvin. Gradien pada permukaan B adalah $\frac{\partial T}{\partial x} = 0 \text{ K/m}$. Berapakah nilai $\frac{\partial T}{\partial y}$ pada permukaan $A$?
Perhitungan Dasar
Karena seluruh batas luar terisolasi kecuali permukaan A dan B, total laju kalor yang masuk/keluar di A harus sama dengan yang ada di B:
$$q_A + q_B = 0 \rightarrow q_A = -q_B$$
$$q”_{y,A} \cdot A_A + q”_{x,B} \cdot A_B = 0 \rightarrow q”_{y,A} \cdot A_A = -(q”_{x,B} \cdot A_B)$$
- Kita hitung konduktivitas permukaan A
$$k_A = k_o + aT_A$$
$$k_A = 10 + (-10^{-3} \times 273)$$
$$k_A = 10 + (-0,273)$$
$$k_A = -9,727 \text{ W/m} \cdot \text{ K}$$
- Kita hitung konduktivitas permukaan B
$$k_B = k_o + aT_B$$
$$k_B = 10 + (-10^{-3} \times 373)$$
$$k_B = 10 + (-0,373)$$
$$k_B = -9,627 \text{ W/m} \cdot \text{ K}$$
Perhitungan Gradien Suhu Permukaan A
Kita hitung fluks kalor permukaan B
$$q”_{x,B} = -k_B \left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_B$$
$$q”_{x,B} = -9,627 \times 30$$
$$q”_{x,B} = -288,81 \text{ W/m}^2$$
Kita hitung laju kalor permukaan B
$$q_B = q”_{x,B} \times (L_B \times w)$$
$$q_B = -288,81 \times (1 \times 1)$$
$$q_B = -288,81 \text{ W}$$
Kita hitung fluks kalor permukaan A
$$q_A = -q_B \rightarrow q_A = -(-288,81) \rightarrow q_A = 288,81 \text{ W}$$
$$q”_{y,A} = \frac{q_A}{L_B \times w}$$
$$q”_{y,A} = \frac{288,81}{2 \times 1}$$
$$q”_{y,A} = 144,405 \text{ W/m}^2$$
Kita hitung gradien suhu permukaan A
$$q”_{y,A} = -k \cdot \left(\frac{\partial T}{\partial y} \right)_A$$
$$144,045 = -9,727 \cdot \left(\frac{\partial T}{\partial y} \right)_A$$
$$\left(\frac{\partial T}{\partial y} \right)_A = \frac{144,045}{9,727}$$
$$\left(\frac{\partial T}{\partial y} \right)_A = 14,808 \text{ K/m}$$
