Biasanya, udara dalam pengering rambut dipanaskan dengan cara mengalirkannya melintasi kawat melingkar yang dialiri arus listrik. Energi termal dihasilkan melalui pemanasan akibat hambatan listrik di dalam kawat dan dipindahkan secara konveksi dari permukaan kawat ke udara. Tinjau kondisi di mana kawat pada awalnya berada pada suhu ruang, $T_i$, dan pemanasan akibat hambatan listrik dimulai bersamaan dengan aliran udara pada $t = 0$.
(a) Untuk jari-jari kawat $r_o$, suhu udara $T_\infty$, dan koefisien konveksi $h$, tuliskan bentuk persamaan panas serta kondisi batas/awal yang mengatur respons termal transien, $T(r, t)$, dari kawat tersebut.
(b) Jika panjang dan jari-jari kawat masing-masing adalah $500 \text{ mm}$ dan $1 \text{ mm}$, berapakah laju volumetrik pembangkitan energi termal untuk konsumsi daya $P_{elec} = 500 \text{ W}$? Berapakah fluks panas konveksi dalam kondisi tunak (steady-state)?
(c) Pada koordinat $T – r$, buatlah sketsa distribusi suhu untuk kondisi-kondisi berikut: kondisi awal ($t \le 0$), kondisi tunak ($t \to \infty$), dan untuk dua waktu antara.
(d) Pada koordinat $q”_r – t$, buatlah sketsa variasi fluks panas terhadap waktu untuk lokasi pada $r = 0$ dan $r = r_o$.
(a) Persamaan Panas dan Kondisi Batas/Awal
Dengan mengasumsikan simetri radial 1D (konduksi ke arah sumbu $z$ dan sudut $\theta$ diabaikan), persamaan diferensial panas transien dalam koordinat silinder adalah:
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(k r \frac{\partial T}{\partial r} \right) + \dot{q} = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial T}{\partial r} \right) \cdot k + \dot{q} = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial T}{\partial r} \right) + \frac{\dot{q}}{k} = \frac{\rho c_p}{k} \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial T}{\partial r} \right) + \frac{\dot{q}}{k} = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}$$
Dengan mengasumsikan $k$ sebagai variabel konstan, persamaan menjadi
$$\mathbf{\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial T}{\partial r} \right) + \frac{\dot{q}}{k} = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}}$$
- Kondisi Awal ($t = 0$):
$$T(r, 0) = T_i \quad (\text{untuk } 0 \le r \le r_o)$$
- Kondisi Batas ($t > 0$): Pada sumbu pusat ($r = 0$): Kondisi Simetri Termal
$$\left. \frac{\partial T}{\partial r} \right\vert{}_{r = 0} = 0$$
- Kondisi Batas ($t > 0$): Pada permukaan kawat ($r = r_o$): Kesetimbangan Energi Konduksi-Konveksi
$$-k \left. \frac{\partial T}{\partial r} \right\vert{}_{r = r_o} = h \left[ T(r_o, t) – T_\infty \right]$$
(b) Laju Volumetric Pembangkitan Energi ($\dot{q}$) dan Fluks Panas Tunak ($q”_{ss}$)
Kita hitung luas permukaan kawat silinder
$$A = 2 \pi r_o L$$
$$A = 2 \cdot 3,142857 \cdot 0,001 \cdot 0,5$$
$$A = 3,142 \times 10^{-3}$$
Kita hitung laju volume kawat silinder
$$V = \pi r_o^2 L$$
$$V = 3,142857 \cdot (0,001)^2 \cdot 0,5$$
$$V = 1,571428 \cdot 0,000001$$
$$V = 1,571 \times 10^{-6} \text{ m}^3$$
Kita hitung laju volumetrik pembangkitan panas
$$\dot{q} = \frac{P_{elec}}{V}$$
$$\dot{q} = \frac{500}{1,571 \times 10^{-6}}$$
$$\dot{q} = 3,182 \times 10^8 \text{ W/m}^3$$
Pada kondisi tunak (steady-state), seluruh energi listrik yang dibangkitkan di dalam kawat harus dilepaskan melalui permukaan silinder secara konveksi
$$\dot{E}_{gen} = q_{out}$$
$$P_{elec} = A_s \cdot q”_{ss}$$
$$q”_{ss} = \frac{P_{elec}}{A_s}$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$q”_{ss} = \frac{500}{3,142 \times 10^{-3}}$$
$$q”_{ss} = 1,591 \times 10^5 \text{ W/m}^2$$
(c) Sketsa Distribusi Suhu $T – r$
- Kondisi Awal ($t \le 0$): Garis lurus horizontal datar pada $T_i$.
- Waktu Antara ($t_1$ dan $t_2$): Karena ada pembangkitan internal $\dot{q}$ dan pendinginan konveksi di luar, profil suhu melengkung parabola cembung ke atas dengan puncak di $r = 0$.
- Kondisi Tunak ($t \to \infty$): Profil parabola cembung tertinggi $T(r) = T_s + \frac{\dot{q} r_o^2}{4k} \left(1 – \frac{r^2}{r_o^2}\right)$, di mana $T_s = T(r_o, \infty) > T_\infty$.
(d) Sketsa Variasi Fluks Panas Terhadap Waktu $q”_r – t$
Pada Pusat Kawat ($r = 0$), $q”_r(0, t)$
- Karena simetri termal, gradien suhu $\frac{\partial T}{\partial r}$ di $r = 0$ selalu bernilai nol pada setiap waktu $t$.
- Oleh karena itu, $q”_r(0, t) = 0$ berupa garis lurus datar di sumbu nol.
Pada Permukaan Kawat ($r = r_o$), $q”_r(r_o, t)$:
- Pada $t = 0$, jika diasumsikan $T_i = T_\infty$, tidak ada fluks konveksi ($q” = 0$). Jika $T_i > T_\infty$, fluks awal bernilai $h(T_i – T_\infty)$.
- Seiring $t > 0$, pembangkitan energi memanaskan permukaan $T(r_o, t)$, sehingga beda suhu $T(r_o, t) – T_\infty$ meningkat.
- Fluks kalor $q”_r(r_o, t)$ naik secara monoton hingga secara asimtotik mencapai nilai tunak konstan $q”_{ss} \approx 1,59 \times 10^5 \text{ W/m}^2$.
