Sebuah dinding datar memiliki sifat-sifat konstan, tidak ada pembangkitan panas internal, dan pada awalnya berada pada suhu seragam $T_i$. Tiba-tiba, permukaan pada $x = L$ dipanaskan oleh fluida bersuhu $T_\infty$ yang memiliki koefisien konveksi $h$. Pada saat yang sama, pemanas listrik diaktifkan, memberikan fluks panas konstan $q”o$ pada $x = 0$.
(a) Pada koordinat $T − x$, gambarkan distribusi suhu untuk kondisi-kondisi berikut: kondisi awal ($t \leq 0$), kondisi tunak ($t \rightarrow \infty$), dan untuk dua waktu antara.
(b) Pada koordinat $q”x − x$, gambarkan fluks panas yang bersesuaian dengan keempat distribusi suhu pada bagian (a).
(c) Pada koordinat $q”x − t$, gambarkan fluks panas pada lokasi $x = 0$ dan $x = L$. Artinya, tunjukkan secara kualitatif bagaimana $q”x(0, t)$ dan $q”x(L, t)$ berubah terhadap waktu.
(d) Turunkan persamaan untuk suhu kondisi tunak pada permukaan pemanas, $T(0, \infty)$, dalam bentuk $q”o$, $T_\infty$, $k$, $h$, dan $L$.
(a) Distribusi Suhu pada Koordinat $T – x$
Persamaan difusi panas satu dimensi tanpa pembangkitan panas di dalam dinding adalah
$$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}$$
Hukum Fourier untuk fluks panas konduksi adalah
$$q”_x = -k \frac{\partial T}{\partial x}$$
Gradien suhu di setiap titik dapat dinyatakan sebagai
$$\frac{\partial T}{\partial x} = -\frac{q”_x(x,t)}{k}$$
Kondisi Batas dan Awal:
- Kondisi awal ($t \le 0$): $T(x, 0) = T_i$ (Seragam).
- Batas $x = 0$ ($t > 0$): Fluks panas dari pemanas bernilai konstan $q”_o$. Maka gradien suhu di $x = 0$ bernilai konstan dan negatif untuk seluruh $t > 0$.
$$\left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert{}_{x = 0} = -\frac{q”_o}{k} < 0$$
- Batas $x = L$ ($t > 0$): Perpindahan panas konveksi ke fluida.
$$-k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert{}_{x = L} = h\left[T(L, t) – T_\infty\right]$$
Karakteristik Kurva $T – x$:
- $t \le 0$: Garis lurus horizontal bernilai $T_i$.
- $t_1 > 0$: Pemanas ($x = 0$) dan konveksi ($x = L$, diasumsikan $T_\infty > T_i$) mulai memanaskan kedua permukaan. Kemiringan/gradien kurva di $x = 0$ bernilai $-\frac{q”_o}{k}$. Di bagian tengah dinding, suhu masih dekat dengan $T_i$.
- $t_2 > t_1$: Panas terus merambat ke bagian dalam dinding. Suhu di seluruh bagian dinding meningkat, dan profil suhu melengkung secara mulus (concave).
- $t \rightarrow \infty$ (Kondisi Tunak): Karena tidak ada pembangkitan panas di dalam dinding, $\frac{d^2 T}{dx^2} = 0$, yang berarti profil suhu menjadi garis lurus linear dengan kemiringan konstan $-\frac{q”_o}{k}$ di sepanjang $0 \leq x \leq L$.
(b) Distribusi Fluks Panas pada Koordinat $q”_x – x$
Fluks panas $q”_x(x, t)$ berhubungan langsung dengan gradien suhu melalui $q”_x = -k \frac{\partial T}{\partial x}$.
Karakteristik Kurva $q”_x – x$:
- $t \le 0$: $q”_x = 0$ di seluruh $0 \le x \le L$.
- $t_1 > 0$:
- Pada $x = 0$, $q”_x(0, t_1) = q”_o$.
- Pada $x = L$, fluks panas bernilai $h(T_\infty – T_i)$ (berarah ke kiri, yaitu $-x$, atau jika diukur terhadap arah positif $+x$, bernilai negatif/masuk dari kanan).
- Di dalam dinding ($0 < x < L$), fluks panas menurun seiring kedalaman karena energi digunakan untuk menaikkan suhu dinding ($\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} > 0$).
- $t_2 > t_1$: Nilai di $x = 0$ tetap $q”_o$. Fluks panas di dalam dinding mendekati nilai $q”_o$ seiring berkurangnya laju penyimpanan energi dalam dinding.
- $t \rightarrow \infty$ (Kondisi Tunak): Seluruh panas yang masuk dari pemanas ($q”_o$) harus diteruskan sepenuhnya keluar melalui konveksi di $x = L$. Oleh karena itu, $q”_x(x, \infty) = q”_o$ konstan horizontal untuk semua $x$.
(c) Fluks Panas Terhadap Waktu pada Koordinat $q”_x – t$
Di $x = 0$ [$q”_x(0, t)$]:
- Untuk $t \le 0$: $q”_x(0) = 0$.
- Tiba-tiba pada $t = 0^+$, pemanas dinyalakan sehingga $q”_x(0, t)$ melompat secara step function ke $q”_o$ dan tetap konstan pada $q”_o$ untuk seluruh $t > 0$.
Di $x = L$ [$q”_x(L, t)$]:
- Untuk $t = 0^+$, jika $T(L, 0) = T_i$, fluks panas konveksi awal adalah $q”_{konv, 0} = h(T_\infty – T_i)$.
- Seiring berjalannya waktu ($t > 0$), suhu permukaan $T(L, t)$ meningkat karena panas dari pemanas dan konveksi. Hal ini menyebabkan beda suhu $[T_\infty – T(L, t)]$ mengecil, sehingga fluks konveksi dari fluida menurun.
- Pada $t \rightarrow \infty$, agar energi setimbang, fluks panas yang keluar di $x = L$ harus sama persis dengan masukan pemanas $q”_o$.
(d) Penurunan Persamaan Suhu Kondisi Tunak $T(0, \infty)$
Pada kondisi tunak ($t \rightarrow \infty$), persamaan difusi panas satu dimensi disederhanakan menjadi:
$$\frac{d^2 T}{dx^2} = 0$$
Mengintegralkan persamaan ini dua kali terhadap $x$:
$$\int \frac{d^2 T}{d x^2} = \frac{dT}{dx} \rightarrow \frac{dT}{dx} = C_1$$
$$\int \frac{dT}{dx} = T(x) \rightarrow T(x) = C_1 x + C_2$$
Terapkan kondisi batas untuk mencari konstanta $C_1$ dan $C_2$:
Kondisi Batas di $x = 0$:
Kita uji pada titik $x = 0$
$$q”_o = -k \left. \frac{dT}{dx} \right \vert{}_{x = 0}$$
$$q”_o = -k \cdot C_1$$
$$C_1 = -\frac{q”_o}{k}$$
Sehingga profil suhu tunak menjadi
$$\mathbf{T(x) = -\frac{q”_o}{k} x + C_2}$$
Kondisi Batas di $x = L$ (Kesetimbangan Energi Konveksi):
Fluks panas konduksi yang mencapai $x = L$ sama dengan fluks panas konveksi ke fluida
$$q”_x(L) = h [T(L) – T_\infty]$$
Karena pada kondisi tunak $q”_x(L) = q”_o$
$$q”_o = h [T(L) – T_\infty]$$
$$\frac{q”_o}{h} = T(L) – T_\infty$$
$$\frac{q”_o}{h} + T_\infty = T(L)$$
Sehingga profil suhu tersebut menjadi
$$\mathbf{T(L) = \frac{q”_o}{h} + T_\infty}$$
Menentukan $T(0, \infty)$:
Kita uji pada titik $x = 0$
$$T(x) = -\frac{q”_o}{k} x + C_2$$
$$T(0) = -\frac{q”_o}{k} (0) + C_2$$
$$T(0) = C_2$$
Sehingga profil suhu tunak menjadi
$$\mathbf{T(x) = -\frac{q”_o}{k} x + T(0)}$$
Substitusikan $x = L$ ke dalam persamaan profil suhu $T(x)$:
$$T(x) = -\frac{q”_o}{k} x + T(0)$$
$$T(L) = -\frac{q”_o}{k} L + T(0, \infty)$$
Sehingga profil suhu tersebut menjadi
$$\mathbf{T(L) = -\frac{q”_o}{k} L + T(0, \infty)}$$
Bandingkan kedua persamaan profil suhu $T(L)$
$$-\frac{q”_o}{k} L + T(0, \infty) = \frac{q”_o}{h} + T_\infty$$
$$T(0, \infty) = \frac{q”_o}{h} + \frac{q”_o}{k} L + T_\infty$$
$$T(0, \infty) = q”_o \left(\frac{1}{h} + \frac{L}{k} \right) + T_\infty$$
Persamaan suhu kondisi tunak pada permukaan pemanas ($x = 0$) adalah:
$$\mathbf{T(0, \infty) = T_\infty + q”_o \left( \frac{1}{h} + \frac{L}{k} \right)}$$
Di mana $\frac{1}{h}$ adalah hambatan termal konveksi per satuan luas, dan $\frac{L}{k}$ adalah hambatan termal konduksi dinding per satuan luas.
