Sebuah dinding datar satu dimensi dengan ketebalan $2L = 80 \text{ mm}$ mengalami pembangkitan energi termal seragam sebesar $\dot{q} = 1000 \text{ W/m}^3$ dan didinginkan secara konveksi pada posisi $x = \pm 40 \text{ mm}$ oleh fluida lingkungan dengan suhu $T_\infty = 30^\circ \text{C}$. Jika distribusi suhu keadaan tunak (steady-state) di dalam dinding tersebut adalah $T(x) = a(L^2 − x^2) + b$ dengan $a = 15^\circ \text{ C/m}^2$ dan $b = 40^\circ \text{C}$, berapakah konduktivitas termal dinding tersebut? Berapakah nilai koefisien perpindahan panas konveksi, $h$?
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Ketebalan Dinding ($L$): $0,04 \text{ m}$
- Laju Pembangkitan Panas ($\dot{q}$): $1000 \text{ W/m}^3$
- Suhu Fluida ($T_\infty$): $30^\circ \text{C}$
- Fungsi Suhu ($T(x)$): $a(L^2 − x^2) + b$
- Konstanta a ($a$): $15^\circ \text{C/m}^2$
- Konstanta b ($b$): $40^\circ \text{C}$
Mencari Konduktivitas Termal
Turunkan suhu terhadap posisi untuk pertama kalinya
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx} [aL^2 – ax^2 + b]$$
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx} [aL^2] – \frac{d}{dx} [ax^2] + \frac{d}{dx} [b]$$
$$\frac{dT}{dx} = 0 – 2ax + 0$$
$$\frac{dT}{dx} = -2ax$$
Turunkan suhu terhadap posisi untuk kedua kalinya
$$\frac{d^2 T}{dx^2} = \frac{dT}{dx} [-2ax]$$
$$\frac{d^2 T}{dx^2} = -2a$$
Kita manipulasi persamaan difusi satu dimensi
$$k \frac{d^2 T}{d x^2} + \dot{q} = 0 \rightarrow \frac{d^2 T}{d x^2} + \frac{\dot{q}}{k} = 0 \rightarrow \frac{d^2 T}{d x^2} = -\frac{\dot{q}}{k}$$
$$k = -\frac{\dot{q}}{\frac{d^2 T}{d x^2}} \rightarrow k = \frac{\dot{q}}{2a}$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$k = \frac{1000}{2(15)}$$
$$k = \frac{1000}{30}$$
$$k = 33,333 \text{ W/m} \cdot \text{K}$$
Menghitung Koefisien Perpindahan Panas Konveksi ($h$)
Kita substitusikan fungsi suhu pada $x = L$
$$T(x) = a(L^2 − x^2) + b \rightarrow T(L) = a(L^2 − L^2) + b$$
$$T(L) = a(0) + b \rightarrow T(L) = 0 + b \rightarrow T(L) = b$$
Kita hitung gradien fungsi pada $x = L$
$$\frac{dT}{dx} = -2ax$$
$$\left. \frac{dT}{dx} \right \vert{}_{x = L} = -2aL$$
$$\left. \frac{dT}{dx} \right \vert{}_{x = L} = -2 \cdot 15 \cdot 0,04$$
$$\left. \frac{dT}{dx} \right \vert{}_{x = L} = -1,2 \text{ K/m}$$
Kita terapkan kesetimbangan energi konveksi di $x = L$
$$-k \left. \frac{dT}{dx} \right\vert{}_{x=L} = h \cdot [T(L) – T_\infty]$$
$$-33,333 \cdot -1,2 = h \cdot [40 – 30]$$
$$40 = h \cdot 10 \rightarrow h = \frac{40}{10}$$
$$h = 4 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$$
