Hitunglah nilai determinan-determinan berikut:
(a) $\begin{vmatrix} 10 + j6 & 2 – j3 \\ -5 & -1 + j \end{vmatrix}$
(b) $\begin{vmatrix} 20 \angle -30^\circ & -4 \angle -10^\circ \\ 16 \angle 0^\circ & 3 \angle 45^\circ \end{vmatrix}$
(c) $\begin{vmatrix} 1 – j & -j & 0 \\ j & 1 & -j \\ 1 & j & 1 + j \end{vmatrix}$
Kita akan menggunakan teknik penyelesaian matriks $2 \times 2$ dan matriks $3 \times 3$
(a) $\begin{vmatrix} 10 + j6 & 2 – j3 \\ -5 & -1 + j \end{vmatrix}$
Untuk menyelesaikan determinan matriks, kita gunakan cara $ad-bc$
$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$
$$\text{determinan} = ad – bc$$
Catatan: $j^2 = -1$
$$\begin{vmatrix} 10 + j6 & 2 – j3 \\ -5 & -1 + j \end{vmatrix}$$
$$\text{determinan} = (10 + j6)(-1 + j) – (2 – j3)(-5)$$
$$\text{determinan} = (-10 – j6 + j10 + j^2 6) – (-10 + j15)$$
$$\text{determinan} = -10 + j4 – 6 + 10 – j15$$
$$\mathbf{\text{determinan} = -6 – j11}$$
(b) $\begin{vmatrix} 20 \angle -30^\circ & -4 \angle -10^\circ \\ 16 \angle 0^\circ & 3 \angle 45^\circ \end{vmatrix}$
Sama seperti sebelumnya, kita gunakan cara $ad-bc$. Agar bisa dijumlahkan, kita wajib mengubahnya menjadi bentuk rektangular.
Hitung bagian $ad$:
$$(20 \angle -30^\circ)(3 \angle 45^\circ) = (20 \times 3) \angle (-30^\circ + 45^\circ)$$
$$(20 \angle -30^\circ)(3 \angle 45^\circ) = 60 \angle 15^\circ$$
Konversi bagian $ad$ menjadi bentuk rektangular:
$$x = 60 \cos(15^\circ) \approx 57,955$$
$$y = 60 \sin(15^\circ) \approx 15,529$$
$$57,955 + j15,529$$
Hitung bagian $bc$:
$$(-4 \angle -10^\circ)(16 \angle 0^\circ) = (-4 \times 16) \angle (-10^\circ + 0^\circ)$$
$$(-4 \angle -10^\circ)(16 \angle 0^\circ) = -64 \angle -10^\circ$$
Konversi bagian $bc$ menjadi bentuk rektangular:
$$x = -64 \cos(-10^\circ) \approx -63,027$$
$$y = -64 \sin(-10^\circ) \approx 11,113$$
$$63,027 + j11,113$$
Hitung hasil $ad – bc$:
$$\text{determinan} = (57,955 + j15,529) – (-63,027 + j11,113)$$
$$\text{determinan} = (57,955 + 63,027) + (j15,529 – j11,113)$$
$$\mathbf{\text{determinan} = 120,982 + j4,416}$$
(c) $\begin{vmatrix} 1 – j & -j & 0 \\ j & 1 & -j \\ 1 & j & 1 + j \end{vmatrix}$
Untuk kasus determinan pada matriks berukuran $3 \times 3$, kita bisa menggunakan metode kofaktor.
Misalkan ada matriks dengan contoh
$\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}$
Maka, untuk menghitung determinan, kita pecah menjadi tiga bagian
$$\text{Determinan} = (a)\begin{vmatrix} e & f \\ h & i\end{vmatrix} – (b)\begin{vmatrix} d & f \\ g & i\end{vmatrix} + (c)\begin{vmatrix} d & e \\ g & h\end{vmatrix}$$
Pada bagian matriks $2 \times 2$ kita cukup menggunakan determinan matriks $2 \times 2$
$$\text{Determinan} = (1 – j)\begin{vmatrix} 1 & -j \\ j & 1 + j\end{vmatrix} – (-j)\begin{vmatrix} j & -j \\ 1 & 1 + j\end{vmatrix} + (0)\begin{vmatrix} j & 1 \\ 1 & j\end{vmatrix}$$
Kita hitung determinan pertama:
$$\text{determinan} = (1 – j)((1)(1 + j) – (-j)(j))$$
$$\text{determinan} = (1 – j)((1 + j) – (1))$$
$$\text{determinan} = (1 – j)(j)$$
$$\text{determinan} = j + 1$$
Kita hitung determinan kedua:
$$\text{determinan} = (-j)((j)(1 + j) – (-j)(1))$$
$$\text{determinan} = (-j)((j – 1) – (-j))$$
$$\text{determinan} = (-j)(2j – 1)$$
$$\text{determinan} = 2 + j$$
Karena determinan ketiga tidak memiliki nilai, kita bisa menghitung semua nilai determinan
$$\text{determinan} = \text{det}_{1} – \text{det}_{2} + \text{det}_{3}$$
$$\text{determinan} = (j + 1) – (2 + j) + 0$$
$$\mathbf{\text{determinan} = -1}$$
