Diketahui $\mathbf{X} = 8 \angle 40^\circ$ dan $\mathbf{Y} = 10 \angle -30^\circ$. Hitung nilai berikut dalam bentuk polar.
(a) $(\mathbf{X} + \mathbf{Y})\mathbf{X}^*$
(b) $(\mathbf{X} – \mathbf{Y})^*$
(c) $(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) / \mathbf{X}$
Untuk mengerjakannya, kita harus bisa memanipulasi bolak balik antara bentuk polar dan rektangular
(a) $(\mathbf{X} + \mathbf{Y})\mathbf{X}^*$
Ubah bentuknya ke dalam rektangular agar bisa dijumlahkan.
Kita kerjakan bagian X:
$$x = 8 \text{cos}(40^\circ) \approx 6,128$$
$$y = 8 \text{sin}(40^\circ) \approx 5,142$$
$$X = 6,128 + j5,142$$
Kita kerjakan bagian Y:
$$x = 10 \cos(-30^\circ) \approx 8,660$$
$$y = 10 \sin(-30^\circ) = -5$$
$$Y = 8,660 – j5$$
Kita jumlahkan bagian X dan Y tersebut.
$$(6,128 + j5,142) + (8,660 – j5)$$
$$(6,128 + 8,660) + (5,142 – 5)$$
$${14,788 – j0,142}$$
Agar bisa dikalikan dengan bentuk polar, maka kita harus mengubah bentuk rektangular menjadi bentuk polar
- Cari nilai r:
$$r = \sqrt{(14,788)^2 + (0,142)^2} = \sqrt{218,684 + 0,020} = \sqrt{218,704} = 14,788$$
- Cari nilai $\theta$:
$$\theta = \tan^{-1}((0,142)/(14,788)) = \tan^{-1}(0,009) = 0,51^\circ$$
Dengan demikian, hasilnya adalah:
$$14,788 \angle 0,51^\circ$$
Kita tinggal kalikan kedua bentuk polar tersebut
$$(14,788 \angle 0,51^\circ)(8 \angle -40^\circ) = (14,788 \times 8) \angle (0,51^\circ – 40^\circ)$$
$$(14,788 \angle 0,51^\circ)(8 \angle -40^\circ) = 118,304 \angle -39,49^\circ$$
$$\mathbf{118,304 \angle -39,49^\circ}$$
(b) $(\mathbf{X} – \mathbf{Y})^*$
Kita tinggal mengoperasikan bagian X dan Y dalam bentuk rektangular.
$$(6,128 + j5,142) – (8,660 – j5)$$
$$(6,128 – 8,660) + (5,142 + 5)$$
$${-2,532 + j10,142}$$
Ubah menjadi bentuk polar.
- Cari nilai r:
$$r = \sqrt{(-2,532)^2 + (10,142)^2} = \sqrt{6,411 + 102,860} = \sqrt{109,271} = 10,453$$
- Cari nilai $\theta$:
$$\theta = tan^{-1}((102,860)/(6,411)) = tan^{-1}(16,044) = 86,43^\circ$$
Dengan demikian, hasilnya adalah:
$$10,453 \angle 86,43^\circ$$
Karena harus dalam bentuk konjugat, kita harus mengubah arah sudutnya
$$\mathbf{10,453 \angle -86,43^\circ}$$
(c) $(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) / \mathbf{X}$
Kita tinggal menggunakan hasil dari sebelumnya.
$$14,788 \angle 0,51^\circ$$
Bagikan hasilnya dengan X.
$$\frac{14,788 \angle 0,51^\circ}{8 \angle 40^\circ} = \frac{14,788}{8} \angle (0,51^\circ – 40^\circ)$$
$$\frac{14,788 \angle 0,51^\circ}{8 \angle 40^\circ} = 1,848 \angle -39,49^\circ$$
$$\mathbf{1,848 \angle -39,49^\circ}$$
