Tentukan solusi $v$ untuk persamaan diferensial berikut dengan kondisi awal yang diberikan:
(a) $\frac{dv}{dt} + v = u(t), \quad v(0) = 0$
(b) $2\frac{dv}{dt} – v = 3u(t), \quad v(0) = -6$
Untuk menyelesaikan soal ini, kita gunakan solusi homogen dan solusi partikular. Untuk solusi homogen, kamu bisa mengunjungi artikel ini.
Hasil akhirnya adalah
$$\text{Solusi Akhir} = \text{Solusi Homogen} + \text{Solusi Partikular}$$
(a) $\frac{dv}{dt} + v = u(t), \quad v(0) = 0$
Solusi Homogen
Untuk mencari solusi homogen, kita buat hasilnya adalah nol
$$\frac{dv}{dt} + v = 0$$
$$\frac{dv}{dt} = -v$$
$$\frac{1}{v}dv = -1 dt$$
Catatan: integral dari $\frac{1}{x}dx$ adalah $\ln (x)$
$$\ln (v) = -t + C$$
Ubah ke bentuk domain waktu:
$$e^{\ln (v)} = e^{-t + C}$$
$$v = e^{-t} \cdot e^{C}$$
$$v = e^{-t} \cdot C$$
$$v_h(t) = Ce^{-t}$$
Catatan: eksponensial dengan logartima natural menghasilkan 1
Solusi Partikular
Untuk $t > 0$, $u(t) = 1$. Karena inputnya konstan, kita asumsikan $v_p$ adalah konstanta $K$.
Nilai dari $\frac{dv}{dt} = 0$
$$0 + K = u(t)$$
$$0 + K = 1 \rightarrow v_p = 1$$
Ubah ke bentuk domain waktu
$$v_p(t) = 1$$
Solusi Akhir
Kita susun solusi akhir
$$v(t) = v_h(t) + v_p(t)$$
$$v(t) = Ce^{-t} + 1$$
Substitusi nilai yang ada
$$v(0) = Ce^{-0} + 1$$
$$0 = C + 1 \rightarrow C = -1$$
Susun ulang persamaan
$$\mathbf{v(t) = (-e^{-t} + 1) u(t) \text{V}}$$
(b) $2\frac{dv}{dt} – v = 3u(t), \quad v(0) = -6$
Solusi Homogen
Untuk mencari solusi homogen, kita buat hasilnya adalah nol
$$2\frac{dv}{dt} – v = 0$$
$$2 \cdot \frac{dv}{dt} = v$$
$$\frac{dv}{dt} = 0,5v$$
$$\frac{1}{v}dv = 0,5 dt$$
Catatan: integral dari $\frac{1}{x}dx$ adalah $\ln (x)$
$$\ln (v) = 0,5t + C$$
Ubah ke bentuk domain waktu:
$$e^{\ln (v)} = e^{0,5t + C}$$
$$v = e^{-0,5t} \cdot e^{C}$$
$$v = e^{-0,5t} \cdot C$$
$$v_h(t) = Ce^{-0,5t}$$
Catatan: eksponensial dengan logartima natural menghasilkan 1
Solusi Partikular
Untuk $t > 0$, $u(t) = 3$. Karena inputnya konstan, kita asumsikan $v_p$ adalah konstanta $K$.
Nilai dari $\frac{dv}{dt} = 0$
$$0 – K = u(t)$$
$$0 – K = 3 \rightarrow v_p = -3$$
Ubah ke bentuk domain waktu
$$v_p(t) = -3$$
Solusi Akhir
Kita susun solusi akhir
$$v(t) = v_h(t) + v_p(t)$$
$$v(t) = Ce^{0,5t} – 3$$
Substitusi nilai yang ada
$$v(0) = Ce^{0} – 3$$
$$-6 = C – 3 \rightarrow C = -3$$
Susun ulang persamaan
$$\mathbf{v(t) = (-3e^{0,5t} – 3) u(t) \text{V}}$$
