Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut:
(a) $\frac{dv}{dt} + 2v = 0, \quad v(0) = -1 \text{ V}$
(b) $2\frac{di}{dt} – 3i = 0, \quad i(0) = 2$
Ini merupakan soal persamaan diferensial dengan penyelesaian yang cukup kompleks
(a) $\frac{dv}{dt} + 2v = 0, \quad v(0) = -1 \text{ V}$
Kita selesaikan bagian turunan:
$$\frac{dv}{dt} = -2v$$
$$\frac{1}{v}dv = -2 dt$$
$$\int \frac{1}{v}dv = \int -2 dt$$
Catatan: integral dari $\frac{1}{x}dx$ adalah $\ln (x)$
$$\ln (v) = -2t + C$$
Ubah ke bentuk domain waktu:
$$e^{\ln (v)} = e^{-2t + C}$$
$$v = e^{-2t} \cdot e^{C}$$
$$v = e^{-2t} \cdot C$$
$$v(t) = Ce^{-2t}$$
Catatan: eksponensial dengan logartima natural menghasilkan 1
Substitusikan nilai awal
$$v(0) = Ce^{-2 \cdot 0} = Ce^0$$
$$-1 = C \rightarrow C = -1$$
Susun ulang persamaan
$$\mathbf{v(t) = -e^{-2t}} \text{ V untuk } t \geq 0$$
(b) $2\frac{di}{dt} – 3i = 0, \quad i(0) = 2$
Kita selesaikan bagian turunan:
$$2 \frac{di}{dt} = 3i$$
$$\frac{di}{dt} = 1,5i$$
$$\frac{1}{i}di = 1,5 dt$$
$$\int \frac{1}{i}di = \int 1,5 dt$$
Catatan: integral dari $\frac{1}{x}dx$ adalah $\ln (x)$
$$\ln (i) = 1,5t + C$$
Ubah ke bentuk domain waktu:
$$e^{\ln (i)} = e^{1,5t + C}$$
$$i = e^{-1,5t} \cdot e^{C}$$
$$i = e^{-1,5t} \cdot C$$
$$i(t) = Ce^{1,5t}$$
Catatan: eksponensial dengan logartima natural menghasilkan 1
Substitusikan nilai awal
$$i(0) = Ce^{1,5 \cdot 0} = Ce^0$$
$$2 = C \rightarrow C = 2$$
Susun ulang persamaan
$$\mathbf{i(t) = 2e^{1,5t}} \text{ A untuk } t \geq 0$$
