Evaluasilah turunan-turunan berikut:
(a) $\frac{d}{dt}[u(t – 1)u(t + 1)]$
(b) $\frac{d}{dt}[r(t – 6)u(t – 2)]$
(c) $\frac{d}{dt}[\sin 4t u(t – 3)]$
(a) $\frac{d}{dt}[u(t – 1)u(t + 1)]$
Perkalian dua fungsi step $u(t-1)$ (mulai di $t=1$) dan $u(t+1)$ (mulai di $t=-1$) menghasilkan sinyal yang hanya bernilai 1 saat kedua syarat terpenuhi, yaitu ketika $t \geq 1$.
$$u(t – 1)u(t + 1) = u(t – 1)$$
Kita turunkan unit step tersebut
$$\frac{d}{dt}u(t) = \delta(t)$$
$$\frac{d}{dt}u(t – 1) = \delta(t – 1)$$
(b) $\frac{d}{dt}[r(t – 6)u(t – 2)]$
Fungsi ramp $r(t-6)$ baru bernilai positif mulai dari $t=6$. Fungsi step $u(t-2)$ baru bernilai positif mulai dari $t=2$. Karena ramp baru “mulai” di $t=6$, maka pada rentang $t=2$ sampai $t=6$, nilai ramp adalah 0. Artinya, perkalian ini tetap menghasilkan $r(t – 6)$ karena sinyal tersebut baru aktif setelah $t=6$ (di mana $u(t-2)$ sudah bernilai positif).
Kita turunkan unit ramp tersebut
$$\frac{d}{dt}r(t) = u(t)$$
$$\frac{d}{dt}r(t – 6) = u(t – 6)$$
(c) $\frac{d}{dt}[\sin 4t u(t – 3)]$
Untuk mengerjakan soal ini, kita menggunakan aturan produk atau product rule. Aturan tersebut adalah seperti ini.
$$\frac{d}{dx} \left[f(x) \cdot g(x) \right] = f(x) \cdot g'(x) + f'(x) \cdot g(x)$$
Maka, kita kerjakan dengan aturan produk
$$\frac{d}{dx} \left[f(x) \cdot g(x) \right] = f(x) \cdot g'(x) + f'(x) \cdot g(x)$$
$$\frac{d}{dt}[\sin 4t \cdot u(t – 3)]$$
- Turunan dari $\sin (\alpha \text{t})$ adalah $ \alpha \cos (\alpha \text{t})$
- Turunan dari $u (t – a)$ adalah $\delta (t – a)$
$$\sin (4t) \cdot \delta (t – 3) + u(t – 3) \cdot 4 \cos (4t)$$
$$\sin (4t) \delta (t – 3) + 4 \cos (4t)u(t – 3)$$
Menggunakan sifat sifting, fungsi yang dikalikan dengan $\delta(t-t_0)$ dapat dievaluasi pada $t_0$.
$$\sin(4t)\delta(t – 3) = \sin(4 \cdot 3)\delta(t – 3) = \sin(12)\delta(t – 3)$$
Hasil akhirnya adalah
$$4\cos(4t)u(t – 3) + \sin(12)\delta(t – 3)$$
