Selesaikan masalah nilai batas yang diberikan atau tunjukkan bahwa masalah tersebut tidak memiliki solusi
$$y” + y = x, \ y(0) = 0, \ y(\pi) = 0$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Solusi Homogen
Ubah persamaan diferensial menjadi persamaan kuadrat
$$y” = s^2, \ y’ = s, \ y = konstanta$$
$$s^2 + 1 = 0$$
$$s^2 = -1$$
$$s = \pm i$$
Bisa kita ubah menjadi
$$s = 0 \pm i$$
Ingat kalau solusi dari persamaan diferensial dengan akar imajiner adalah
$$\alpha \pm \beta i$$
$$y(x) = e^{-\alpha x}(C_1 \cos (\beta x) + C_2 \sin (\beta x))$$
Kita substitusikan nilai-nilainya
$$0 \pm i$$
$$y_h = e^{-0}(C_1 \cos (x) + C_2 \sin (x))$$
$$y_h = C_1 \cos (x) + C_2 \sin (x)$$
Solusi Partikular
Kita gunakan pendekatan polinomial
$$y = Ax + B, y’ = A, y” = 0$$
$$0 + (Ax + B) = x$$
$$A = 1 \text{dan} B = 0$$
Susun ulang solusi partikular
$$y_p = (1)x + 0$$
$$y_p = x$$
Solusi Akhir
Solusi akhirnya adalah gabungan dari solusi homogen dan solusi partikular.
$$y(x) = x + C_1 \cos (x) + C_2 \sin (x)$$
Substitusi nilai pertama
$$y(0) = 0 + C_1 \cos (0) + C_2 \sin (0)$$
$$0 = 0 + C_1$$
$$\mathbf{C_1 = 0}$$
Substitusi nilai kedua
$$y(\pi) = \pi + C_2 \sin (\pi)$$
$$0 = \pi + 0$$
Nilai $\pi$ tidak mungkin sama dengan nol, sehingga persamaan diferensial ini tidak memiliki solusi.
