Selesaikan masalah nilai batas yang diberikan atau tunjukkan bahwa masalah tersebut tidak memiliki solusi
$$y” + y = 0, \ y'(0) = 1, \ y(L) = 0$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Transformasi Persamaan Kuadrat
Ubah persamaan diferensial menjadi persamaan kuadrat
- $y” = s^2$
- $y’ = s$
- $y = konstanta$
$$s^2 + 1 = 0$$
$$s^2 = -1$$
$$s = \pm i$$
Bisa kita ubah menjadi
$$s = 0 \pm i$$
Ingat kalau solusi dari persamaan diferensial dengan akar imajiner adalah
$$\alpha \pm \beta i$$
$$y(x) = e^{-\alpha x}(C_1 \cos (\beta x) + C_2 \sin (\beta x))$$
Kita substitusikan nilai-nilainya
$$0 \pm i$$
$$y(x) = e^{-0}(C_1 \cos (x) + C_2 \sin (x))$$
$$y(x) = C_1 \cos (x) + C_2 \sin (x)$$
Uji Batas Nilai
Terdapat dua nilai yang bisa kita uji, tetapi untuk kemudahan, kita kerjakan yang bagian $y'(0) = 1$ dahulu
Kita turunkan solusi tersebut
$$y'(x) = -C_1 \sin (x) + C_2 \cos (x)$$
Substitusi nilai pertama
$$y'(0) = -C_1 \sin (0) + C_2 \cos (0)$$
$$1 = C_2$$
$$\mathbf{C_2 = 1}$$
Substitusi nilai kedua
$$y(x) = C_1 \cos (x) + \sin (x)$$
$$y(L) = C_1 \cos (L) + \sin (L)$$
$$0 = C_1 \cos (L) + \sin (L)$$
$$\sin (L) = – C_1 \cos (L)$$
$$C_1 = -\frac{\sin (L)}{\cos (L)}$$
Disini terdapat dua solusi yang ada
- Jika $\cos (L) \neq 0$, maka hasilnya adalah $C_1 = -\tan (L)$. Maka solusi umumnya adalah $y(x) = -\tan (L) \cos (x) + \sin (x)$$
- Jika $\cos (L) = 0$, maka hasilnya adalah $C_1 = -\frac{\sin (L)}{0}$. Karena suatu penyebut pecahan tidak boleh bernilai nol, maka tidak ada solusi.
