Selesaikan masalah nilai batas yang diberikan atau tunjukkan bahwa masalah tersebut tidak memiliki solusi
$$y” + 2y = x, \ y(0) = 0, \ y(\pi) = 0$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Solusi Homogen
Ubah persamaan diferensial menjadi persamaan kuadrat
- $y” = s^2$
- $y’ = s$
- $y = konstanta$
$$s^2 + 2 = 0$$
$$s^2 = -2$$
$$s = \pm \sqrt{2}i$$
Bisa kita ubah menjadi
$$s = 0 \pm \sqrt{2}i$$
Ingat kalau solusi dari persamaan diferensial dengan akar imajiner adalah
$$\alpha \pm \beta i$$
$$y(x) = e^{-\alpha x}(C_1 \cos (\beta x) + C_2 \sin (\beta x))$$
Kita substitusikan nilai-nilainya
$$0 \pm \sqrt{2}i$$
$$y_h = e^{-0}(C_1 \cos (x) + C_2 \sin (x))$$
$$y_h = C_1 \cos (\sqrt{2}x) + C_2 \sin (\sqrt{2}x)$$
Solusi Partikular
Kita gunakan pendekatan polinomial
$$y = Ax + B, y’ = A, y” = 0$$
$$0 + 2(Ax + B) = x$$
$$2Ax + 2B = x$$
$$A = \frac{1}{2} \text{dan} B = 0$$
Susun ulang solusi partikular
$$y_p = \frac{1}{2}x + 0$$
$$y_p = \frac{1}{2}x$$
Solusi Akhir
Solusi akhirnya adalah gabungan dari solusi homogen dan solusi partikular.
$$y(x) = \frac{x}{2} + C_1 \cos (\sqrt{2}x) + C_2 \sin (\sqrt{2}x)$$
Substitusi nilai pertama
$$y(0) = 0 + C_1 \cos (0) + C_2 \sin (0)$$
$$0 = 0 + C_1$$
$$\mathbf{C_1 = 0}$$
Substitusi nilai kedua
$$y(\pi) = \frac{\pi}{2} + C_2 \sin (\sqrt{2}\pi)$$
$$0 = \frac{\pi}{2} + C_2 \sin (\sqrt{2}\pi)$$
$$\frac{\pi}{2} = – C_2 \sin (\sqrt{2}\pi)$$
$$C_2 = – \frac{\frac{\pi}{2}}{\sin (\sqrt{2}\pi)}$$
$$\mathbf{C_2 = – \frac{\pi}{2 \sin (\sqrt{2}\pi)}}$$
Susun ulang solusinya
$$\mathbf{y(x) = \frac{1}{2}x – \frac{\pi \sin (\sqrt{2}x)}{2 \sin (\sqrt{2}\pi)}}$$
