Ilmu dan Teknologi Material – Struktur Padatan Kristal – Bagian 3.73

Gambar 3.26 memperlihatkan lima puncak pertama dari pola difraksi sinar-X untuk tungsten (W), yang memiliki struktur kristal BCC; digunakan radiasi sinar-X monokromatik dengan panjang gelombang $0,1542 \text{ nm}$.

(a) Tentukan indeks (yaitu, berikan indeks $h$, $k$, dan $l$) untuk masing-masing puncak tersebut.

(b) Tentukan jarak antarbidang untuk setiap puncak tersebut.

(c) Untuk setiap puncak, tentukan jari-jari atom W, dan bandingkan nilainya dengan nilai yang tercantum dalam Tabel 3.1.

Untuk menyelesaikan soal difraksi sinar-X pada logam tungsten (W) berstruktur BCC, kita perlu mencatat terlebih dahulu posisi sudut difraksi ($2\theta$) untuk kelima puncak yang terlihat pada gambar grafik XRD

Dengan membaca grafik, estimasi nilai sudut yang mungkin adalah

1. Puncak 1: $2\theta = 40^\circ \rightarrow \theta = 20^\circ$
2. Puncak 2: $2\theta = 58^\circ \rightarrow \theta = 29^\circ$
3. Puncak 3: $2\theta = 72^\circ \rightarrow \theta = 36^\circ$
4. Puncak 4: $2\theta = 86^\circ \rightarrow \theta = 43^\circ$
5. Puncak 5: $2\theta = 100^\circ \rightarrow \theta = 50^\circ$

(a) Indeks Miller Masing-Masing Puncak

Berdasarkan aturan seleksi difraksi untuk struktur BCC, puncak difraksi hanya akan muncul pada bidang yang nilai penjumlahan indeksnya genap ($h + k + l = \text{bilangan genap}$). Lima urutan nilai $h^2 + k^2 + l^2$ genap pertama yang diizinkan adalah 2, 4, 6, 8, dan 10.

Mari kita susun kombinasi apa saja yang mungkin

1. Puncak 1: $h^2 + k^2 + l^2 = 2$ Kombinasi yang mungkin adalah $(1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)$, kita ambil $(1,1,0)$
2. Puncak 2: $h^2 + k^2 + l^2 = 4$ Kombinasi yang mungkin adalah $(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2)$, kita ambil $(2,0,0)$
3. Puncak 3: $h^2 + k^2 + l^2 = 6$ Kombinasi yang mungkin adalah $(2,1,1), (1,2,1), (1,1,2)$, kita ambil $(2,1,1)$
4. Puncak 4: $h^2 + k^2 + l^2 = 8$ Kombinasi yang mungkin adalah $(2,2,0), (2,0,2), (0,2,2)$, kita ambil $(2,2,0)$
5. Puncak 5: $h^2 + k^2 + l^2 = 10$ Kombinasi yang mungkin adalah $(3,1,0), (3,1,0), (3,0,1), (1,0,3), (0,3,1), (0,1,3)$, kita ambil $(3,1,0)$

(b) Jarak Antarbidang Setiap Puncak

Kita gunakan hukum Bragg yang sudah dimodifikasi

$$d_{hkl} = \frac{\lambda}{2 \sin \theta}$$

Ulangi pada setiap puncak yang ada

$d_{110} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{2 \sin 20^\circ} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{2 \cdot 0,342} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{0,684} = \mathbf{2,254 \times 10^{-10} \text{ m}}$

$d_{200} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{2 \sin 29^\circ} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{2 \cdot 0,484} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{0,968} = \mathbf{1,592 \times 10^{-10} \text{ m}}$

$d_{211} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{2 \sin 36^\circ} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{2 \cdot 0,587} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{1,174} = \mathbf{1,312 \times 10^{-10} \text{ m}}$

$d_{220} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{2 \sin 43^\circ} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{2 \cdot 0,681} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{1,362} = \mathbf{1,132 \times 10^{-10} \text{ m}}$

$d_{310} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{2 \sin 50^\circ} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{2 \cdot 0,766} = \frac{1,542 \times 10^{-10}}{1,532} = \mathbf{1,006 \times 10^{-10} \text{ m}}$

(c) Jari-Jari Atom dan Perbandingannya

Untuk struktur kristal kubik, hubungan antara $d_{hkl}$ dan parameter kisi $a$ adalah $a = d_{hkl}\sqrt{h^2+k^2+l^2}$. Karena Tungsten berstruktur BCC, hubungan antara $a$ dan jari-jari atom $R$ adalah $a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$.

Maka, rumus langsung untuk mencari jari-jari atom $R$ dari nilai $d_{hkl}$ adalah:

$$d_{hkl}\sqrt{h^2+k^2+l^2} = \frac{4R}{\sqrt{3}}$$

$$d_{hkl}\sqrt{3h^2+3k^2+3l^2} = 4R$$

$$R = \frac{d_{hkl}\sqrt{3h^2+3k^2+3l^2}}{4}$$

Ulangi perhitungan jari-jari tersebut pada setiap koordinat

1. $R_{110} = \frac{2,254 \times 10^{-10}\sqrt{3(1)^2 + 3(1)^2 + 3(0)^2}}{4} = \frac{2,254 \times 10^{-10} \cdot \sqrt{6}}{4} = 0,25 \cdot 2,254 \times 10^{-10} \cdot 2,449 = \mathbf{1,380 \times 10^{-10} \text{ m}}$
2. $R_{200} = \frac{1,592 \times 10^{-10}\sqrt{3(2)^2 + 3(0)^2 + 3(0)^2}}{4} = \frac{1,592 \times 10^{-10} \cdot \sqrt{12}}{4} = 0,25 \cdot 1,592 \times 10^{-10} \cdot 3,464 = \mathbf{1,378 \times 10^{-10} \text{ m}}$
3. $R_{211} = \frac{1,312 \times 10^{-10}\sqrt{3(2)^2 + 3(1)^2 + 3(1)^2}}{4} = \frac{1,312 \times 10^{-10} \cdot \sqrt{18}}{4} = 0,25 \cdot 1,312 \times 10^{-10} \cdot 4,242 = \mathbf{1,391 \times 10^{-10} \text{ m}}$
4. $R_{220} = \frac{1,132 \times 10^{-10}\sqrt{3(2)^2 + 3(2)^2 + 3(0)^2}}{4} = \frac{1,132 \times 10^{-10} \cdot \sqrt{24}}{4} = 0,25 \cdot 1,132 \times 10^{-10} \cdot 4,898 = \mathbf{1,386 \times 10^{-10} \text{ m}}$
5. $R_{310} = \frac{1,006 \times 10^{-10}\sqrt{3(3)^2 + 3(1)^2 + 3(0)^2}}{4} = \frac{1,006 \times 10^{-10} \cdot \sqrt{30}}{4} = 0,25 \cdot 1,006 \times 10^{-10} \cdot 5,447 = \mathbf{1,369 \times 10^{-10} \text{ m}}$

Mari kita hitung rata-rata dari jari-jari tersebut

$$\text{Rata-Rata} = \frac{\sum \text{Nilai Data}}{\sum \text{Jumlah Data}}$$

$$\text{Rata-Rata} = \frac{1,380 + 1,378 + 1,391 + 1,386 + 1,369}{1 + 1 + 1 + 1 + 1}$$

$$\text{Rata-Rata} = \frac{6,904}{5}$$

$$\text{Rata-Rata} = 1,38 \times 10^{-10} \text{ m}$$

$$\color{red} R = 138 \text{ pm}$$

Berdasarkan referensi ilmu material yang dikutip dari beberapa sumber, nilai empiris dari jari-jari atom Tungsten adalah sekitar $\color{blue} 139 \text{ pm}$. Hasil aproksimasi rata-rata tersebut adalah $138 \text{ pm}$. Itu artinya, eksperimen tersebut sangat akurat karena persentase keakuratannya sekitar $99,28\%$.