Fungsi gelombang di bawah ini merupakan penyelesaian persamaan wilayah Schroedinger
$$-\frac{a}{3} \leq x \leq \frac{a}{3}$$
$$\begin{equation} \psi(x, t) = \begin{cases} A \sin \left(\frac{3 \pi x}{a} \right) e^{-i \omega t} & -\frac{a}{3} \leq x \leq \frac{a}{3} \\ 0 & x < -\frac{a}{3} \ \text{atau} \ x > \frac{a}{3} \end{cases} \end{equation}$$
Hitunglah nilai ekspektasi dari x
Analisis Simetri (Cara Cepat)
Fungsi gelombang yang diberikan adalah:
$$\psi(x,t) = A \sin\left(\frac{3\pi x}{a}\right) e^{-i\omega t}$$
Kerapatan probabilitasnya ($P(x)$) adalah:
$$P(x) = |\psi(x,t)|^2 = |A|^2 \sin^2\left(\frac{3\pi x}{a}\right)$$
Fungsi ini didefinisikan pada interval simetris terhadap titik asal, yaitu dari $-\frac{a}{3}$ sampai $+\frac{a}{3}$.
Fungsi $\sin^2$ adalah fungsi genap ($f(x) = f(-x)$). Artinya, distribusi probabilitas di sisi kiri $x=0$ sama persis dengan sisi kanan
Karena partikel memiliki probabilitas yang sama untuk berada di posisi $+x$ dan $-x$, maka rata-rata posisinya (nilai ekspektasi) pastilah berada tepat di tengah-tengah rentang tersebut.
Jadi, $\langle x \rangle = 0$.
Perhitungan Formal (Pembuktian)
Pembuktiannya sudah pernah dibahas di artikel sebelumnya, dan hasilnya juga pasti nol, meskipun berbeda batas, karena pada akhirnya akan saling meniadakan. Kamu bisa mempelajarinya pada artikel ini.
