Suatu partikel berada dalam dinding potensial satu dimensi yang terbentang dari $x = 0$ sampai $x = a_2$. Energi potensial dalam dinding bernilai nol dan di luar dinding bernilai tak hingga.
(a) Tentukan persamaan gelombang untuk partikel tersebut pada $0 ≤ x ≤ a_2$
(b) Tentukan persamaan densitas probabilitasnya
(c) Tentukan persamaan energi untuk partikel tersebut
Jika partikel itu mengalami deeksitasi dari tingkat energi $n = 2$ menuju $n = 1$, tentukan panjang gelombang emisi radiasi yang terjadi
(a) Persamaan Gelombang pada $0 \leq x \leq \frac{a}{2}$
Dalam daerah ini, potensial $V=0$. Persamaan Schrödinger tak bergantung waktu adalah:
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi$$
Dengan lebar kotak $L = a/2$, syarat batasnya adalah $\psi(0) = 0$ dan $\psi(a/2) = 0$. Solusi umum yang memenuhi syarat batas ini adalah fungsi sinus yang telah dinormalisasi:
$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$
Substitusikan $L = a/2$:
$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{4}{a}} \sin\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)$$
(b) Persamaan Densitas Probabilitas
Densitas probabilitas adalah kuadrat dari fungsi gelombang:
$$P(x) = |\psi_n(x)|^2$$
$$P(x) = \left(\sqrt{\frac{4}{a}} \sin\left(\frac{2n\pi x}{a}\right) \right)^2$$
$$P(x) = \frac{4}{a} \sin^2\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)$$
(c) Persamaan Energi Partikel
Energi partikel dalam kotak satu dimensi diberikan oleh rumus:
$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m L^2}$$
Substitusikan $L = a/2$:
$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m (a/2)^2}$$
$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m (a^2/4)}$$
$$E_n = \frac{2n^2 \pi^2 \hbar^2}{ma^2}$$
(d) Panjang Gelombang Emisi Radiasi ($n=2 \to n=1$)
Ketika partikel mengalami deeksitasi, energi foton yang dilepaskan ($\Delta E$) adalah selisih energi antar tingkat tersebut:
$$\Delta E = E_2 – E_1$$
$$\Delta E = \frac{2(2)^2 \pi^2 \hbar^2}{ma^2} – \frac{2(1)^2 \pi^2 \hbar^2}{ma^2}$$
$$\Delta E = \frac{8 \pi^2 \hbar^2}{ma^2} – \frac{2 \pi^2 \hbar^2}{ma^2}$$
$$\Delta E = \frac{6 \pi^2 \hbar^2}{ma^2}$$
Karena energi foton adalah $E_{foton} = \frac{hc}{\lambda}$, maka:
$$\frac{hc}{\lambda} = \frac{6 \pi^2 \hbar^2}{ma^2}$$
$$\lambda = \frac{hc \cdot ma^2}{6 \pi^2 \hbar^2}$$
Menggunakan hubungan $\hbar = \frac{h}{2\pi}$:
$$\lambda = \frac{hc \cdot ma^2}{6 \pi^2 (h/2 \pi)^2}$$
$$\lambda = \frac{hc \cdot ma^2}{6 \pi^2 (h^2/4 \pi^2)}$$
$$\lambda = \frac{hc \cdot ma^2}{1,5 h^2}$$
$$\lambda = \frac{2ma^2 c}{3h}$$
