Dengan memanfaatkan postulat Bohr, tunjukkan bahwa kecepatan elektron mengelilingi inti atom hidrogen di kulit pertama, $v_1$ adalah kecepatan terbesar yang mungkin dicapai oleh elektron. Tunjukkan pula bahwa perbandingan kecepatan ini terhadap kecepatan cahaya, $c$ dapat dinyatakan sebagai $\alpha$, yang dikenal sebagai tetapan struktur halus (fine-structure constant), yaitu
$$\alpha = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 h c}$$
Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kita akan menggabungkan dua prinsip utama dari model atom Bohr, yaitu kuantisasi momentum sudut dan keseimbangan gaya mekanik.
Menurunkan Persamaan Kecepatan Elektron ($v_n$)
Berdasarkan postulat Bohr
Kuantisasi Momentum Sudut:
$$m v r = n \hbar$$
Gaya Coulomb antara elektron dan inti (untuk atom hidrogen $Z=1$) menyediakan gaya sentripetal:
$$\frac{m v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$$
Dari persamaan keseimbangan gaya, kita mendapatkan:
$$m v^2 r = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}$$
Sekarang, kita substitusikan nilai $r$ dari persamaan momentum sudut ($r = \frac{n \hbar}{m v}$):
$$m v^2 \left( \frac{n \hbar}{m v} \right) = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}$$
$$v_n (n \hbar) = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}$$
$$v_n = \frac{1}{n} \left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar} \right)$$
Kesimpulan Bagian Pertama:
Dari rumus $v_n \propto \frac{1}{n}$, terlihat bahwa kecepatan berbanding terbalik dengan nomor kulit ($n$). Oleh karena itu, kecepatan terbesar terjadi pada kulit terendah ($n=1$).
$$v_{maks} = v_1 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar}$$
Hubungan dengan Konstanta Struktur Halus ($\alpha$)
Konstanta struktur halus ($\alpha$) didefinisikan sebagai perbandingan antara kecepatan elektron pada orbit pertama atom hidrogen terhadap kecepatan cahaya ($c$):
$$\alpha = \frac{v_1}{c}$$
Substitusikan nilai $v_1$ yang baru saja kita turunkan:
$$\alpha = \frac{\left( \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar} \right)}{c}$$
Sederhanakan persamaannya:$$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c}$$
(Terbukti)
