Tentukan deret Fourier dari fungsi dibawah ini
$$f(x) = \begin{cases} 0, & -2 \le x \le -1 \\ x, & -1 < x < 1 \\ 0, & 1 \le x < 2 \end{cases} \ \ \ f(x + 4) = f(x)$$
Sebagai catatan referensi tambahan, kamu bisa mengunjungi artikel sebelumnya agar kamu bisa mempelajari lebih dalam.
Fungsi harus diidentifikasi sebagai fungsi ganjil atau genap sebelum ditransformasikan menjadi deret Fourier.
Identifikasi Ganjil atau Genap
Misalkan $x = -\frac{3}{2}$
Karena nilai $-\frac{3}{2}$ berada di rentang $-2 \leq x \leq 1$
$$f(-\frac{3}{2}) = 0$$
Misalkan $x = 0$
Karena nilai $0$ berada di rentang $-1 < x < 1$
$$f(0) = 0$$
Misalkan $x = \frac{3}{2}$
Karena nilai $\frac{3}{2}$ berada di rentang $1 \leq x \leq 2$
$$f(\frac{3}{2}) = 0$$
Kita verifikasi ganjil terlebih dahulu
Fungsi dikatakan ganjil jika memenuhi syarat $(f(-x) = -f(x))$
$$f(-\frac{3}{2}) = 0$$
$$-f(\frac{3}{2}) = -0 = 0$$
Karena $(f(-\frac{3}{2}) = -f(\frac{3}{2}))$ maka termasuk fungsi ganjil
Karena fungsi termasuk ganjil, maka kita harus mencari $b_n$
Mencari Nilai $b_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$b_n = \frac{2}{T} \int f(x) \sin \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = 1$ dan $f(x) = 0$ dan $f(x) = 1$ dan $T = 4$, rumusnya menjadi
$$b_n = \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{-1}0 + \int_{-1}^{1}x + \int_{1}^{2}0 \right) \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx$$
$$b_n = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $x$ adalah $1$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$ adalah $-\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$ adalah $\frac{2}{n\pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$x \cdot -\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right) – \int -\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right) \cdot 1$$
$$-\frac{2x}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right) + \int \frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$$
$$-\frac{2x}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right) + \frac{2^2}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[-\frac{2x}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right) \right]_{-1}^{1}$$
$$\left[-\frac{2(1)}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi (1)}{2}\right) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n \pi (1)}{2}\right) + \frac{2(-1)}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi (-1)}{2}\right) – \frac{4}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n \pi (-1)}{2}\right) \right]$$
$$\left[-\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right) – \frac{2}{n\pi} \cos \left(-\frac{n \pi}{2}\right) – \frac{4}{n^2\pi^2} \sin \left(-\frac{n \pi}{2}\right) \right]$$
- Catatan: nilai dari $\cos \left(\frac{n \pi}{2}\right)$ sama dengan $\cos \left(-\frac{n \pi}{2}\right)$
- Catatan: nilai dari $\sin \left(-\frac{n \pi}{2}\right)$ sama dengan $-\sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$
Maka hasilnya menjadi
$$-\frac{4}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{8}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$$
Kalikan dengan konstanta awal
$$b_n = \frac{1}{2} \cdot -\frac{4}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{8}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$$
Maka nilai dari $b_n$ adalah
$$\mathbf{-\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)}$$
Penyusunan Deret Fourier
Secara umum, deret Fourier untuk fungsi pada periode ditulis sebagai
$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)$$
Karena fungsi kita $f(x) = x$ adalah fungsi ganjil, maka nilai
$a_0 = 0$
$a_n = 0$
sehingga rumus deretnya menyusut dan hanya menyisakan suku sinus saja
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)$$
Masukkan nilai
$$b_n = -\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$$
yang sudah didapatkan tadi ke dalam rumus di atas
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[-\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi}{2}\right) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)\right]\sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)$$
Sekarang mari kita jabarkan beberapa suku pertamanya
- Untuk $n = 1$: $\left[-\frac{2}{\pi} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{4}{\pi^2} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) \right] \sin \left(\frac{\pi x}{2} \right)$
- Untuk $n = 2$: $\left[-\frac{2}{2\pi} \cos \left(\frac{2\pi}{2}\right) + \frac{4}{4\pi^2} \sin \left(\frac{2\pi}{2}\right) \right] \sin \left(\frac{2\pi x}{2} \right)$
- Untuk $n = 3$: $\left[-\frac{2}{3\pi} \cos \left(\frac{3\pi}{2}\right) + \frac{4}{9\pi^2} \sin \left(\frac{3\pi}{2}\right) \right] \sin \left(\frac{3\pi x}{2} \right)$
- Untuk $n = 4$: $\left[-\frac{2}{4\pi} \cos \left(\frac{4\pi}{2}\right) + \frac{4}{16\pi^2} \sin \left(\frac{4\pi}{2}\right) \right] \sin \left(\frac{4\pi x}{2} \right)$
Gabungkan semua suku di atas ke dalam satu baris persamaan panjang
$$\mathbf{f(x) = \left[-\frac{2}{\pi} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{4}{\pi^2} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) \right] \sin \left(\frac{\pi x}{2} \right) + \left[-\frac{2}{2\pi} \cos \left(\frac{2\pi}{2}\right) + \frac{4}{4\pi^2} \sin \left(\frac{2\pi}{2}\right) \right] \sin \left(\frac{2\pi x}{2} \right)}$$
