Hitunglah jari-jari lintasan dan energi dari suatu elektron pada atom hidrogen yang memiliki bilangan kuantum $n = 2$, $l = 1$, $m_1 = 0$. Selanjutnya, bandingkan dengan yang dihitung dengan menggunakan formula dari postulat Bohr. Berilah analisis hasil perhitungannya.
Perhitungan Berdasarkan Mekanika Kuantum Modern
Dalam mekanika kuantum, elektron tidak berada pada lintasan yang pasti (orbit), melainkan dalam orbital.
Jari-jari (Nilai Ekspektasi $\langle r \rangle$):
Untuk atom hidrogen ($Z=1$), jarak rata-rata elektron dari inti pada keadaan tertentu bergantung pada bilangan kuantum $n$ dan $l$. Rumus nilai ekspektasi $r$ adalah:
$$\langle r \rangle = \frac{a_0}{2} \left[ 3n^2 – l(l+1) \right]$$
$$\langle r \rangle = \frac{a_0}{2} \left[ 3(2^2) – 1(1+1) \right]$$
$$\langle r \rangle = \frac{5,29 \times 10^{-11}}{2} [ 3(4) – 1(2)]$$
$$\langle r \rangle = (5,29 \times 10^{-11}) \frac{10}{2}$$
$$\langle r \rangle = 2,645 \times 10^{-10} $$
$$\langle r \rangle = 2,645 \ \mathring{A} $$
Energi ($E_n$):
Dalam mekanika kuantum (tanpa memperhitungkan fine structure), energi hanya bergantung pada $n$:
$$E_n = -\frac{13,6 \text{ eV}}{n^2}$$
$$E_n = -\frac{13,6}{2^2}$$
$$E_n = -\frac{13,6}{4}$$
$$E_n = \mathbf{-3,4 \text{ eV}}$$
Perhitungan Berdasarkan Postulat Bohr
Model Bohr mengasumsikan elektron bergerak dalam lintasan lingkaran yang kaku.
Jari-jari Bohr ($r_n$):
$$r_n = n^2 \cdot a_0$$
$$r_n = 2^2 \cdot a_0$$
$$r_n = 4 \cdot (5,29 \cdot 10^{-11})$$
$$r_n = 2,116 \times 10^{-10}$$
$$\mathbf{r_n = 2,116 \ \mathring{A}}$$
Energi Bohr ($E_n$):
$$E_n = -\frac{13,6 \text{ eV}}{n^2}$$
$$E_n = -\frac{13,6}{2^2}$$
$$E_n = -\frac{13,6}{4}$$
$$E_n = \mathbf{-3,4 \text{ eV}}$$
