Suatu kotak dengan ukuran $a \times b \times c$ berisi suatu partikel dengan massa $m$. Dinding kotak itu dibatasi oleh suatu potensial tak hingga sehingga partikel tidak dpaat ditemukan di luar dinding. Besar potensial di dalam dinding adlah nol sehingga partikel bebas bergerak di dalam dinding.
a. Tunjukkan bahwa penyelesaian persamaan Schroedinger untuk keadaan ini adalah
$$\psi_{n, m, l}(x, y, z) = K \sin \left(\frac{\pi n x}{a} \right) \sin \left(\frac{\pi n y}{b} \right) \sin \left(\frac{\pi n z}{c} \right)$$
b. Tunjukkan bahwa energi akan terkuantisasi menurut persamaan
$$E_{n, m, l} = \frac{\hbar^2}{2m} ({k_x}^2 + {k_y}^2 + {k_z}^2)$$
dimana masing-masing
$$k_x = \frac{\pi n}{a} \ \ \ (n = 1, 2, 3, …)$$
$$k_y = \frac{\pi m}{b} \ \ \ (m = 1, 2, 3, …)$$
$$k_z = \frac{\pi l}{c} \ \ \ (l = 1, 2, 3, …)$$
Petunjuk
Persamaan Schroedinger yang digunakan adalah
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right) + V \psi = E \psi$$
Gunakan pemisahan variabel
$$\psi (x, y, z) = \alpha(x) \cdot \beta(y) \cdot \gamma(z)$$
Pemisahan Variabel
Kita pisahkan variabel tersebut dengan mengasumsikan solusinya berupa perkalian dua fungsi satu dimensi
$$\psi (x, y, z) = \alpha(x) \cdot \beta(y) \cdot \gamma(z)$$
Substitusikan bentuk ini ke dalam komponen turunan parsial pada Persamaan Schrödinger utama
- Pada bagian $x$, $\beta(y) \gamma(z)$ dianggap sebagai konstanta terhadap $x$:
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x^2} [\alpha(x) \cdot \beta(y) \cdot \gamma(z)] = \beta(y) \gamma(z) \frac{d^2 \alpha}{dx^2}$$
- Pada bagian $y$, $\alpha(x) \gamma(z)$ dianggap sebagai konstanta terhadap $y$:
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y^2} [\alpha(x) \cdot \beta(y) \cdot \gamma(z)] = \alpha(x) \gamma(z) \frac{d^2 \beta}{dx^2}$$
- Pada bagian $z$, $\alpha(x) \beta(y)$ dianggap sebagai konstanta terhadap $z$:
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z^2} [\alpha(x) \cdot \beta(y) \cdot \gamma(z)] = \alpha(x) \beta(y) \frac{d^2 \gamma}{dx^2}$$
Kita substitusikan ulang ke persamaan Schrödinger tadi
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\beta(y) \gamma(z) \frac{d^2 \alpha}{dx^2} + \alpha(x) \gamma(z) \frac{d^2 \beta}{dx^2} + \alpha(x) \beta(y) \frac{d^2 \gamma}{dx^2} \right) = E \cdot \alpha(x) \cdot \beta(y) \cdot \gamma(z)$$
Kita bagi turunan parsial tersebut dengan $\alpha(x) \cdot \beta(y) \cdot \gamma(z)$
- Kita bagikan bagian $\beta(y) \gamma(z)$
$$\frac{\beta(y) \gamma(z) \frac{d^2 \alpha}{dx^2}}{\alpha(x) \cdot \beta(y) \cdot \gamma(z)}$$
$$\frac{1}{\alpha(x)} \cdot \frac{\beta(y) \gamma(z)}{\beta(y) \gamma(z)} \cdot \frac{d^2 \alpha}{dx^2}$$
$$\frac{1}{\alpha(x)} \cdot \frac{d^2 \alpha}{dx^2}$$
- Kita bagikan bagian $\alpha(x) \gamma(z)$
$$\frac{\alpha(x) \gamma(z) \frac{d^2 \beta}{dy^2}}{\alpha(x) \cdot \beta(y) \cdot \gamma(z)}$$
$$\frac{1}{\beta(y)} \cdot \frac{\alpha(x) \gamma(z)}{\alpha(x) \gamma(z)} \cdot \frac{d^2 \beta}{dy^2}$$
$$\frac{1}{\beta(y)} \cdot \frac{d^2 \beta}{dy^2}$$
- Kita bagikan bagian $\alpha(x) \beta(y)$
$$\frac{\alpha(x) \beta(y) \frac{d^2 \gamma}{dy^2}}{\alpha(x) \cdot \beta(y) \cdot \gamma(z)}$$
$$\frac{1}{\gamma(z)} \cdot \frac{\alpha(x) \beta(y)}{\alpha(x) \beta(y)} \cdot \frac{d^2 \gamma}{dz^2}$$
$$\frac{1}{\gamma(z)} \cdot \frac{d^2 \gamma}{dz^2}$$
- Kita bagikan bagian $E$
$$\frac{E \cdot \alpha(x) \beta(y) \gamma(z)}{\alpha(x) \beta(y) \gamma(z)} = E$$
Hasilnya kita substitusikan kembali ke dalam persamaan
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{1}{\alpha} \frac{d^2 \alpha}{dx^2} + \frac{1}{\beta} \frac{d^2 \beta}{dy^2} + \frac{1}{\gamma} \frac{d^2 \gamma}{dz^2} \right) = E$$
Kita bisa memisahkan ketiga variabel tersebut menjadi masing-masing satu variabel
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\alpha} \frac{d^2 \alpha}{dx^2} = E_x \ \text{dan} \ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\beta} \frac{d^2 \beta}{dy^2} = E_y \ \text{dan} \ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\gamma} \frac{d^2 \gamma}{dz^2} = E_z$$
Kita bisa menyederhanaan bagian turunan sebelumnya
- Kita sederhanakan bagian turunan $\alpha$
$$\frac{1}{\alpha} \frac{d^2 \alpha}{dx^2} = {-k_x}^2$$
- Kita sederhanakan bagian turunan $\beta$
$$\frac{1}{\beta} \frac{d^2 \beta}{dy^2} = {-k_y}^2$$
- Kita sederhanakan bagian turunan $\gamma$
$$\frac{1}{\gamma} \frac{d^2 \gamma}{dz^2} = {-k_z}^2$$
Hasilnya menjadi
$$\frac{\hbar^2 {k_x}^2}{2m} = E_x \quad \text{dan} \quad \frac{\hbar^2 {k_y}^2}{2m} = E_y \quad \text{dan} \quad \frac{\hbar^2 {k_z}^2}{2m} = E_z$$
Solusi Bagian $\alpha$
Solusi umum untuk $\alpha(x)$ adalah:
$$\alpha(x) = A \sin(k_x x) + B \cos(k_x x)$$
Kita substitusikan syarat batas $\alpha(0) = 0$ dan $\alpha(a) = 0$
Substitusi $\alpha(0) = 0$
$$X(0) = A \sin(k_x (0)) + B \cos(k_x (0))$$
$$0 = A \sin(0) + B \cos(0)$$
$$0 = 0 + B$$
$$\mathbf{B = 0}$$
Substitusi $\alpha(a) = 0$
$$\alpha(a) = A \sin(k_x (a)) + 0$$
$$0 = A \sin(k_xa)$$
Agar sistem ini memiliki solusi, maka konstanta A tidak boleh bernilai nol. Satu satunya cara adalah $\sin (k_xa)$ yang harus bernilai nol. Kita tahu bahwa fungsi sinus bernilai nol pada $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$, dll, maka nilai $\sin$ adalah ($n_x \pi$)
$$\sin(k_xa) = \sin(n_x \pi)$$
$$k_xa = n_x \pi$$
$$\mathbf{k_x = \frac{n_x \pi}{a}}$$
Solusi Bagian $\beta$
Solusi umum untuk $\beta(y)$ adalah:
$$\beta(y) = A \sin(k_y y) + B \cos(k_y y)$$
Kita substitusikan syarat batas $\beta(0) = 0$ dan $\beta(b) = 0$
Substitusi $\beta(0) = 0$
$$\beta(0) = A \sin(k_y (0)) + B \cos(k_y (0))$$
$$0 = A \sin(0) + B \cos(0)$$
$$0 = 0 + B$$
$$\mathbf{B = 0}$$
Substitusi $\beta(b) = 0$
$$\beta(b) = A \sin(k_y (b)) + 0$$
$$0 = A \sin(k_yb)$$
Agar sistem ini memiliki solusi, maka konstanta A tidak boleh bernilai nol. Satu satunya cara adalah $\sin (k_yb)$ yang harus bernilai nol. Kita tahu bahwa fungsi sinus bernilai nol pada $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$, dll, maka nilai $\sin$ adalah ($m_y \pi$)
$$\sin(k_yb) = \sin(m_y \pi)$$
$$k_yb = m_y \pi$$
$$\mathbf{k_y = \frac{m_y \pi}{b}}$$
Solusi Bagian $\gamma$
Solusi umum untuk $\gamma(z)$ adalah:
$$\gamma(z) = A \sin(k_z z) + B \cos(k_z z)$$
Kita substitusikan syarat batas $\gamma(0) = 0$ dan $\gamma(c) = 0$
Substitusi $\gamma(0) = 0$
$$\gamma(0) = A \sin(k_z (0)) + B \cos(k_z (0))$$
$$0 = A \sin(0) + B \cos(0)$$
$$0 = 0 + B$$
$$\mathbf{B = 0}$$
Substitusi $\gamma(c) = 0$
$$\gamma(c) = A \sin(k_z (c)) + 0$$
$$0 = A \sin(k_zc)$$
Agar sistem ini memiliki solusi, maka konstanta A tidak boleh bernilai nol. Satu satunya cara adalah $\sin (k_zc)$ yang harus bernilai nol. Kita tahu bahwa fungsi sinus bernilai nol pada $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$, dll, maka nilai $\sin$ adalah ($l_z \pi$)
$$\sin(k_zc) = \sin(l_z \pi)$$
$$k_zc = l_z \pi$$
$$\mathbf{k_z = \frac{l_z \pi}{c}}$$
Penyelesaian Persamaan Schroedinger
Kita tahu bahwa solusi masing-masing adalah
$$\psi (x) = A_x \sin (k_xx) + B \cos (k_xx)$$
$$\psi (x) = A_x \sin \left(\frac{n_x \pi x}{a} \right)$$
$$\psi (y) = A_y \sin (k_yy) + B \cos (k_yy)$$
$$\psi (y) = A_y \sin \left(\frac{m_y \pi y}{b} \right)$$
$$\psi (x) = A_z \sin (k_zz) + B \cos (k_zz)$$
$$\psi (x) = A_z \sin \left(\frac{n_z \pi z}{c} \right)$$
Kita gabungkan semua solusi
$$\psi(x, y, z) = A_x \sin \left(\frac{n_x \pi x}{a} \right) \cdot A_y \sin \left(\frac{m_y \pi y}{b} \right) \cdot A_z \sin \left(\frac{n_z \pi z}{c} \right)$$
$$\psi(x, y, z) = A \sin \left(\frac{n_x \pi x}{a} \right) \sin \left(\frac{m_y \pi y}{b} \right) \sin \left(\frac{l_z \pi z}{c} \right)$$
Pembuktian Energi Total
Kita substitusikan nilai $k_x$ $k_y$ dan $k_z$ ke dalam persamaan
$$\frac{\hbar^2 {k_x}^2}{2m} = E_x \quad \text{dan} \quad \frac{\hbar^2 {k_y}^2}{2m} = E_y \quad \text{dan} \quad \frac{\hbar^2 {k_z}^2}{2m} = E_z$$
Energi total adalah penjumlahan energi dari tiap komponen
$$E_{total} = E_x + E_y + E_z$$
$$E_{total} = \frac{\hbar^2 {k_x}^2}{2m} + \frac{\hbar^2 {k_y}^2}{2m} + \frac{\hbar^2 {k_z}^2}{2m}$$
$$E_{total} = \frac{\hbar^2}{2m} ({k_x}^2 + {k_y}^2 + {k_z}^2)$$
