Sebuah muatan permukaan seragam dengan kerapatan $\rho_s = \rho_0 \text{ C/m}^2$ berbentuk bola dengan jari-jari $a$. Bola tersebut berputar mengelilingi sumbu $z$ dengan kecepatan sudut konstan $\Omega \text{ rad/s}$.
(a) Tentukan total arus ($I_{total}$) yang mengalir akibat rotasi bola tersebut.
(b) Tentukan intensitas medan magnet ($\mathbf{H}$) di titik pusat (origin) bola.
Gunakan Persamaan yang relevan dari referensi buku secara tepat
$$\mathbf{H} = \int_S \frac{\mathbf{K} \times \mathbf{a}_R}{4\pi R^2} dS$$
(a) Total Current Flowing ($I_{total}$)
Ambil elemen garis sepanjang permukaan bola dari kutub utara ke kutub selatan
$$d\mathbf{L} = a \, d\theta$$
Arus yang mengalir melalui elemen ini disebabkan oleh muatan yang bergerak dengan kecepatan linear
$$v = \Omega \rho = \Omega (a \sin \theta)$$
$$dI = K \, (a \, d\theta)$$
Di mana $K$ adalah densitas arus permukaan:
$$K = \rho_s v = \rho_0 \Omega a \sin \theta$$
Arus total yang mengitari bola:
$$I = \int_{0}^{\pi} (\rho_0 \Omega a \sin \theta) a \, d\theta$$
$$I = \rho_0 \Omega a^2 \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta$$
$$I = \rho_0 \Omega a^2 [-\cos \theta]_{0}^{\pi}$$
$$I = \rho_0 \Omega a^2 [-\cos \pi + \cos 0]$$
$$I = \rho_0 \Omega a^2 [-(-1) + 1]$$
$$I = \rho_0 \Omega a^2 (2)$$
$$I_{total} = 2\rho_0 \Omega a^2 \text{ (Ampere) }$$
(b) H at the Origin (Menggunakan Persamaan 6)
Kita akan menggunakan Hukum Biot-Savart untuk arus permukaan sesuai instruksi:
$$\mathbf{H} = \int_S \frac{\mathbf{K} \times \mathbf{a}_R}{4\pi R^2} dS$$
- Titik Pengamatan: Pusat bola $(0,0,0)$.
- Titik Sumber: Permukaan bola pada radius $a$.
- Vektor Jarak ($\mathbf{R}$): Dari permukaan ke pusat, maka $\mathbf{R} = -a \mathbf{a}_r$, sehingga $R = a$ dan $\mathbf{a}_R = -\mathbf{a}_r$.
- Densitas Arus ($\mathbf{K}$): $\rho_0 \Omega a \sin \theta \mathbf{a}_\phi$.
- Elemen Luas ($dS$): $a^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi$.
Kita bisa mencari bagian $\mathbf{K} \times \mathbf{a}_R$ terlebih dahulu
$$\mathbf{K} \times \mathbf{a}_R = (\rho_0 \Omega a \sin \theta \mathbf{a}_\phi) \times (-\mathbf{a}_r)$$
$$\mathbf{K} \times \mathbf{a}_R = \rho_0 \Omega a \sin \theta (\mathbf{a}_\phi \times -\mathbf{a}_r)$$
$$\mathbf{K} \times \mathbf{a}_R = \rho_0 \Omega a \sin \theta \mathbf{a}_\theta$$
Komponen $\mathbf{a}_\theta$ dapat dipecah menjadi koordinat kartesian. Namun, karena simetri bola, komponen horizontal akan saling meniadakan, hanya komponen $z$ yang tersisa. Vektor $\mathbf{a}_\theta$ memiliki komponen $z$ sebesar $-\sin \theta \mathbf{a}_z$.
$$\mathbf{H} = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{(\rho_0 \Omega a \sin \theta)(-\sin \theta \mathbf{a}_z)}{4\pi a^2} a^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi$$
$$\mathbf{H} = -\frac{\rho_0 \Omega a}{4\pi} \mathbf{a}_z \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta \, d\theta$$
Kita selesaikan integral $d\phi$
$$\int_{0}^{2\pi} d\phi = \left[\phi \right]_{0}^{2\pi} = [2\pi – 0] = 2\pi$$
Kita selesaikan integral $d\theta$
$$\int_{0}^{\pi} \sin^3 d\theta$$
$$\left[\frac{1}{3} \cos^3 \theta – \cos \theta \right]_{0}^{\pi}$$
$$\left[\frac{1}{3} \cos^3 \pi – \cos \pi – \frac{1}{3} \cos^3 0 + \cos 0 \right]$$
$$\left[\frac{1}{3} (-1) + 1 – \frac{1}{3} (1)Â + 1\right]$$
$$\left[-\frac{1}{3} + 1 – \frac{1}{3} + 1 \right]$$
$$2 – \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$
Kita gabungkan kedua hasilnya:
$$\mathbf{H} = -\frac{\rho_0 \Omega a}{4\pi} (2\pi) \left( \frac{4}{3} \right) \mathbf{a}_z$$
$$\mathbf{H} = -\frac{2}{3} \rho_0 \Omega a \mathbf{a}_z \text{ (A/m)}$$
