Sebuah muatan volume seragam dengan kerapatan $\rho_v = \rho_0 \text{ C/m}^3$ memiliki bentuk bola dengan jari-jari $a$. Bola tersebut berputar mengelilingi sumbu $z$ dengan kecepatan sudut konstan $\Omega \text{ rad/s}$. (a) Tentukan total arus yang mengalir akibat rotasi volume bola tersebut. (b) Tentukan intensitas medan magnet ($\mathbf{H}$) di titik pusat (origin) bola. Gunakan Persamaan yang relevan dari referensi buku secara tepat $\mathbf{H} = \int_{vol} \frac{\mathbf{J} \times \mathbf{a}_R}{4\pi R^2} dv$
(a) Total Current Flowing ($I_{total}$)
Sama seperti kasus permukaan, kita menghitung arus yang melewati penampang vertikal (bidang yang memotong sumbu $z$).
Kerapatan Arus Volume ($\mathbf{J}$)
Setiap elemen volume $dv$ di dalam bola pada posisi koordinat bola $(r, \theta, \phi)$ memiliki kecepatan linier $v = \Omega r \sin \theta$. Maka kerapatan arus volumenya adalah:
Integrasi Penampang
Elemen luas penampang dalam hal ini adalah $dA = r \, dr \, d\theta$.
$$I_{total} = \frac{2}{3} \rho_0 \Omega a^3 \text{ (Ampere)}$$
b) H at the Origin (Menggunakan Persamaan 7)
Kita gunakan integrasi volume untuk mencari $\mathbf{H}$ di pusat bola:
Titik Pengamatan: Pusat $(0,0,0)$.
Titik Sumber: $(r, \theta, \phi)$ di dalam bola.
Vektor Jarak ($\mathbf{R}$): Dari sumber ke pusat, maka $\mathbf{R} = -r \mathbf{a}_r$, sehingga $R = r$ dan $\mathbf{a}_R = -\mathbf{a}_r$.
Elemen Volume ($dv$): $r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$.
Seperti sebelumnya, kita hanya mengambil komponen $z$ dari $\mathbf{a}_\theta$, yaitu $-\sin \theta \mathbf{a}_z$:
Mari kita hitung satu per satu:
$\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi$
$\int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta \, d\theta = \frac{4}{3}$
$\int_{0}^{a} r \, dr = \frac{a^2}{2}$
Untuk mencari tahu, kamu bisa mengunjungi artikel ini.
Hasil Akhir:
