Gunakan Hukum Biot-Savart untuk menurunkan Persamaan pada Bagian 7.1, yaitu persamaan intensitas medan magnet ($H$) di titik pengamatan $P$ $H = \frac{I}{4\pi\rho} (\sin \alpha_2 – \sin \alpha_1) \mathbf{a}_\phi$
Definisi Geometri
Misalkan sebuah kawat terletak pada sumbu $z$ dari $z = z_1$ hingga $z = z_2$. Kita ingin mencari $\mathbf{H}$ pada titik $P$ yang berjarak $\rho$ dari sumbu $z$ (pada bidang $xy$, tanpa kehilangan generalitas kita anggap $P$ berada pada koordinat $(\rho, 0, 0)$).
- Elemen arus: $I d\mathbf{L} = I dz’ \mathbf{a}_z$ (pada posisi $z’$).
- Vektor posisi titik pengamatan: $\mathbf{r} = \rho \mathbf{a}_\rho$.
- Vektor posisi elemen sumber: $\mathbf{r}’ = z’ \mathbf{a}_z$.
- Vektor jarak: $\mathbf{R} = \mathbf{r} – \mathbf{r}’ = \rho \mathbf{a}_\rho – z’ \mathbf{a}_z$.
- Magnitudo jarak: $R = \sqrt{\rho^2 + (z’)^2}$.
Formulasi Hukum Biot-Savart
Hukum Biot-Savart menyatakan:
$$d\mathbf{H} = \frac{I d\mathbf{L} \times \mathbf{a}_R}{4\pi R^2}$$
$$d\mathbf{H} = \frac{I d\mathbf{L} \times \mathbf{R}}{4\pi R^3}$$
Mari kita hitung hasil kali silangnya:
$$d\mathbf{L} \times \mathbf{R} = (dz’ \mathbf{a}_z) \times (\rho \mathbf{a}_\rho – z’ \mathbf{a}_z)$$
Kita ingat ulang bahwa:
$$\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}-\rho = \mathbf{a}_phi$$
$$\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}-z = 0$$
$$d\mathbf{L} \times \mathbf{R} = \rho dz’ \mathbf{a}_\phi$$
Maka elemen medan magnetnya adalah:
$$d\mathbf{H} = \frac{I \rho dz’}{4\pi (\rho^2 + (z’)^2)^{3/2}} \mathbf{a}_\phi$$
Substitusi Variabel Sudut
Untuk mempermudah integrasi, kita gunakan sudut $\alpha$ antara garis normal ke titik $P$ dan garis ke elemen kawat.
Dari geometri:
- $z’ = \rho \tan \alpha$
- $dz’ = \rho \sec^2 \alpha \, d\alpha$
- $R = \rho \sec \alpha$
Substitusikan ke dalam persamaan $d\mathbf{H}$:
$$d\mathbf{H} = \frac{I \rho \cdot \rho \sec^2 \alpha \, d\alpha}{4\pi (\rho^2 + (\rho \tan \alpha)^2)^{3/2}} \mathbf{a}_\phi$$
Kita pisahkan konstanta dengan variabel yang diintegralkan
$$d\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi} \cdot \frac{\rho \cdot \rho \sec^2 \alpha \, d\alpha}{(\rho^2 + \rho^2 \tan^2 \alpha)^{3/2}} \mathbf{a}_\phi$$
Sekarang, kita tinggal mengintegralkan variabel tersebut
$$\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi} \cdot \int \frac{\rho \cdot \rho \sec^2 \alpha \, d\alpha}{(\rho^2(1 + \tan^2 \alpha)^{3/2}} \mathbf{a}_\phi$$
Karena $(1 + \tan^2 \alpha)^{3/2}$ adalah $sec^2 \alpha$
$$\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi} \cdot \int \frac{\rho \cdot \rho \sec^2 \alpha \, d\alpha}{(\rho^2(sec^2 \alpha))^{3/2}} \mathbf{a}_\phi$$
$$\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi} \cdot \int \frac{\rho \cdot \rho \sec^2 \alpha \, d\alpha}{\rho^3 sec^3 \alpha} \mathbf{a}_\phi$$
$$\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi} \cdot \int \frac{\rho^2 \cdot \sec^2 \alpha \, d\alpha}{\rho^3 sec^3 \alpha} \mathbf{a}_\phi$$
$$\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi\rho} \cdot \int \frac{1}{sec \alpha} d\alpha \mathbf{a}_\phi$$
Sekarang kita selesaikan integral tersebut
$$\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi\rho} \cdot \left[sin \alpha \right]_{\alpha_1}^{\alpha_2} \mathbf{a}_\phi$$
Hasil integrasi memberikan persamaan yang diminta:
$$\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi \rho} (\sin \alpha_2 – \sin \alpha_1) \mathbf{a}_\phi$$
