Sebuah contoh dari gelombang bidang tidak seragam (nonuniform plane wave) adalah gelombang permukaan atau evanescent, yang dalam bentuk phasor ditunjukkan sebagai berikut, menunjukkan amplitudo yang berkurang terhadap $x$ saat merambat ke arah $+z$. $\mathbf{E}_s(z) = E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z} \mathbf{a}_y$. Medan seperti ini merupakan bagian dari struktur mode dalam pandu gelombang dielektrik (dielectric waveguides).(a) Dengan mengasumsikan kondisi ruang hampa, gunakan persamaan Maxwell untuk mencari medan magnet terkait, $\mathbf{H}_s(z)$ (perhatikan bahwa akan ada dua komponen). (b) Cari $\alpha$ sebagai fungsi dari $\beta, \omega, \epsilon_0,$ dan $\mu_0$, sedemikian sehingga semua persamaan Maxwell dipenuhi oleh medan listrik dan magnet tersebut.
Berbeda dengan gelombang bidang standar di mana amplitudo konstan di seluruh bidang transversal, di sini amplitudo berubah terhadap $x$. Amplitudo “terperangkap” di dekat permukaan $x=0$.
(a) Menentukan Medan Magnet $\mathbf{H}_s$
Kita buat medan listrik per koordinat
- $\mathbf{E}x = 0$
- $\mathbf{E}y = E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z}$
- $\mathbf{E}x = 0$
Kita gunakan perkalian curl pada $E_s$
$$\nabla \times \mathbf{E}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_x & \mathbf{a}_y & \mathbf{a}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & E_y & 0 \end{vmatrix}$$
$$\nabla \times \mathbf{E}_s = \left(\frac{\partial}{\partial y} \cdot 0 – \frac{\partial}{\partial z} \cdot \mathbf{E}_y\right)\mathbf{a}_x – \left(\frac{\partial}{\partial x} \cdot 0 – \frac{\partial}{\partial z} \cdot 0\right)\mathbf{a}_y + \left(\frac{\partial}{\partial x} \cdot \mathbf{E}_y – \frac{\partial}{\partial z} \cdot 0\right)\mathbf{a}_z$$
$$\nabla \times \mathbf{E}_s = \left(0 – \frac{\partial \mathbf{E}_y}{\partial z}\right)\mathbf{a}_x – (0 – 0)\mathbf{a}_y + \left(\frac{\partial \mathbf{E}_y}{\partial x}- 0\right)\mathbf{a}_z$$
$$\nabla \times \mathbf{E}_s = -\frac{\partial \mathbf{E}_y}{\partial z}\mathbf{a}_x + \frac{\partial \mathbf{E}_y}{\partial x}\mathbf{a}_z$$
$$\nabla \times \mathbf{E}_s = -\frac{\partial}{\partial z}( E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z})\mathbf{a}_x + \frac{\partial}{\partial x}( E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z})\mathbf{a}_z$$
$$\nabla \times \mathbf{E}_s = j\beta( E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z})\mathbf{a}_x – \alpha( E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z})\mathbf{a}_z$$
$$\nabla \times \mathbf{E}_s = j\beta\mathbf{E}_y\mathbf{a}_x – \alpha\mathbf{E}_y\mathbf{a}_z$$
Sesuai dengan aturan Hukum Faraday dalam bentuk Phasor
$$\nabla \times \mathbf{E}_s = -j\omega\mu_0 \mathbf{H}_s$$
$$j\beta\mathbf{E}_y\mathbf{a}_x – \alpha\mathbf{E}_y\mathbf{a}_z = -j\omega\mu_0 \mathbf{H}_s$$
$$\mathbf{H}_s = \frac{j\beta\mathbf{E}_y\mathbf{a}_x – \alpha\mathbf{E}_y\mathbf{a}_z}{-j\omega\mu_0}$$
$$\mathbf{H}_s = \frac{j\beta\mathbf{E}_y\mathbf{a}_x + j^2\alpha\mathbf{E}_y\mathbf{a}_z}{-j\omega\mu_0}$$
$$\mathbf{H}_s = \frac{j\beta\mathbf{E}_y}{-j\omega\mu_0}\mathbf{a}_x + \frac{j^2\alpha\mathbf{E}_y}{-j\omega\mu_0}\mathbf{a}_z$$
$$\mathbf{H}_s = -\frac{\beta}{\omega\mu_0}\mathbf{E}_y\mathbf{a}_x – \frac{j\alpha}{\omega\mu_0}\mathbf{E}_y\mathbf{a}_z$$
$$\mathbf{H}_s = \left(-\frac{\beta}{\omega\mu_0}\mathbf{a}_x – \frac{j\alpha}{\omega\mu_0}\mathbf{a}_z\right)\mathbf{E}_y$$
$$\mathbf{H_s = \left(-\frac{\beta}{\omega\mu_0}\mathbf{a}_x – \frac{j\alpha}{\omega\mu_0}\mathbf{a}_z\right)E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z} \text{ A/m}}$$
Catatan: manipulasi $j^2$ yang bernilai $-1$ bertujuan untuk memudahkan pecahan
(b) Menentukan $\alpha$
Kita buat medan listrik per koordinat
- $\mathbf{E}x = 0$
- $\mathbf{E}y = E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z}$
- $\mathbf{E}x = 0$
Kita gunakan bentuk Laplacian $(\nabla)^2$ dari $E_y$:
$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z}) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}(E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z}) + \frac{\partial^2}{\partial z^2}(E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z})$$
$$(-\alpha)^2(E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z}) + (0)^2(E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z}) + (-j)^2(\beta)^2(E_0 e^{-\alpha x} e^{-j\beta z})$$
$$\mathbf{\alpha^2\mathbf{E}_y – \beta^2\mathbf{E}_y}$$
Sesuai dengan aturan Helmholtz untuk medan listrik
$$\nabla^2 \mathbf{E}_s + k_0^2 \mathbf{E}_s = 0$$
$$\alpha^2\mathbf{E}_y – \beta^2\mathbf{E}_y + k_0^2 \mathbf{E}_y = 0$$
$$\alpha^2 – \beta^2 + k_0^2 = 0$$
$$\alpha^2 = \beta^2 – k_0^2$$
$$\alpha^2 = \beta^2 – \omega^2 \mu_0\epsilon_0$$
$$\mathbf{\alpha = \sqrt{\beta^2 – \omega^2 \mu_0\epsilon_0}}$$
