Sebuah medan listrik di ruang hampa dinyatakan dalam koordinat bola sebagai $\mathbf{E}_s(r) = E_0(r) e^{-jkr} \mathbf{a}_\theta \text{ V/m}$. (a) Tentukan $\mathbf{H}_s(r)$ dengan asumsi perilaku gelombang bidang seragam lokal. (b) Tentukan rata-rata vektor Poynting $\langle \mathbf{S} \rangle$. (c) Nyatakan daya rata-rata ke arah luar dalam Watt yang melalui cangkang bola tertutup berjari-jari $r$ yang berpusat di titik asal. (d) Tetapkan bentuk fungsional $E_0(r)$ yang diperlukan agar aliran daya pada bagian (c) menjadi independen terhadap jari-jari. Dengan terpenuhinya kondisi ini, medan tersebut menjadi radiator isotropik dalam medium lossless (memancarkan kepadatan daya yang sama ke semua arah).
- Dalam dunia nyata, sumber titik memancarkan energi yang menyebar membentuk bola. Karena luas permukaan bola membesar seiring bertambahnya jari-jari ($A = 4\pi r^2$), maka intensitas daya harus menurun agar total daya tetap konstan (hukum kekekalan energi).
- Dalam koordinat bola, jika medan listrik berada pada arah $\mathbf{a}_\theta$ dan merambat ke arah radial keluar ($\mathbf{a}_r$), maka medan magnet harus berada pada arah $\mathbf{a}_\phi$ untuk memenuhi aturan tangan kanan ($\mathbf{a}_r = \mathbf{a}_E \times \mathbf{a}_H$).
- Hubungan amplitudo $E$ dan $H$ tetap mengikuti $\eta_0 \approx 377 \Omega$.
(a) Menentukan $\mathbf{H}_s(r)$
Menggunakan asumsi perilaku gelombang bidang lokal, arah rambat adalah $\mathbf{a}_r$.
$$\mathbf{H}_s = \frac{1}{\eta_0} \mathbf{a}_r \times \mathbf{E}_s$$
$$\mathbf{H}_s = \frac{1}{\eta_0} \mathbf{a}_r \times [E_0(r) e^{-jkr} \mathbf{a}_\theta]$$
$$\mathbf{H}_s = \frac{E_0(r)}{\eta_0} e^{-jkr} (\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_\theta)$$
$$\mathbf{H_s(r) = \frac{E_0(r)}{\eta_0} e^{-jkr} \mathbf{a}_\phi \text{ A/m}}$$
Catatan: hasil dari $\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_\theta$ adalah $\mathbf{a}_\phi$
(b) Menentukan Rata-rata Vektor Poynting $\langle \mathbf{S} \rangle$
Kita cari bentuk konjugat dari medan megnet
$$H_s^*(r) = \frac{E_0^*(r)}{\eta_0} e^{jkr} \mathbf{a}_\phi \text{ A/m}$$
Kita cari rata-rata vektor poynting
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \text{Re} { \mathbf{E}_s \times \mathbf{H}_s^* }$$
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \text{Re} \left( [E_0(r) e^{-jkr} \mathbf{a}_\theta] \times \left[\frac{E_0^*(r)}{\eta_0} e^{+jkr} \mathbf{a}_\phi\right] \right)$$
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\eta_0} \cdot (E_0(r) \cdot E_0^*(r)) \cdot (e^{-jkr} \cdot e^{jkr}) \cdot (\mathbf{a}_\theta \times \mathbf{a}_\phi)$$
$$\mathbf{\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{|E_0(r)|^2}{2\eta_0} \mathbf{a}_r \text{ W/m}^2}$$
(c) Daya Rata-rata Melalui Cangkang Bola ($P_{avg}$)
Daya total adalah integral permukaan dari $\langle \mathbf{S} \rangle$ di seluruh permukaan bola:
$$P = \int \langle \mathbf{S} \rangle \cdot dA$$
$$P_{avg} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \langle \mathbf{S} \rangle \cdot (r^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi \, \mathbf{a}_r)$$
$$P_{avg} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \frac{|E_0(r)|^2}{2\eta_0} \cdot (r^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi \,) \cdot (\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_r)$$
$$P_{avg} = \frac{|E_0(r)|^2}{2\eta_0} (r^2) \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin \theta \, d\theta$$
$$P_{avg} = \frac{|E_0(r)|^2}{2\eta_0} (r^2) \cdot [\phi]_0^{2\pi} \cdot [-\cos \theta]_0^\pi$$
$$P_{avg} = \frac{|E_0(r)|^2}{2\eta_0} (r^2) \cdot [2\pi – 0] \cdot [-\cos \pi + \cos 0]$$
$$P_{avg} = \frac{|E_0(r)|^2}{2\eta_0} (r^2) \cdot (2\pi) \cdot (2)$$
$$\mathbf{P_{avg} = \frac{|E_0(r)|^2}{2\eta_0} (4 \pi r^2) \text{ W}}$$
(d) Bentuk Fungsional $E_0(r)$
Agar $P_{avg}$ bersifat konstan (tidak bergantung pada $r$), maka suku $|E_0(r)|^2 r^2$ harus berupa konstanta.
Misalkan $|E_0(r)|^2 r^2 = A^2$, maka:
$$|E_0(r)|^2 r^2 = A^2$$
$$\frac{|E_0(r)|^2 r^2}{r^2} = \frac{A^2}{r^2}$$
$$|E_0(r)|^2 = \frac{A^2}{r^2}$$
$$|E_0(r)| = \frac{A}{r}$$
Agar daya yang dipancarkan tetap sama di setiap jarak, amplitudo medan listrik harus berbanding terbalik dengan jarak ($1/r$). Inilah alasan mengapa sinyal radio melemah seiring kita menjauh dari menara pemancar.
