Dalam sebuah medium yang dicirikan oleh impedansi intrinsik $\eta = |\eta| e^{j\phi}$, sebuah gelombang bidang terpolarisasi linier merambat dengan medan magnet yang diberikan oleh $\mathbf{H}_s = (H_{0y} \mathbf{a}_y + H_{0z} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{-j\beta x} \text{ A/m}$. Tentukan (a) Medan listrik phasor ($\mathbf{E}_s$), (b) Bentuk sesaat medan listrik ($\mathcal{E}(x, t)$), (c) Bentuk sesaat medan magnet ($\mathcal{H}(x, t)$), (d) Rata-rata vektor Poynting ($\langle \mathbf{S} \rangle$).
- Dilihat dari eksponen $e^{-j\beta x}$, gelombang merambat ke arah $+x$.
- Dalam elektromagnetika, $\mathbf{E}$ selalu tegak lurus terhadap $\mathbf{H}$ dan arah rambat ($\mathbf{a}_k$). Hubungannya adalah $\mathbf{E}_s = -\eta (\mathbf{a}_k \times \mathbf{H}_s)$.
- Karena mediumnya berugi, ada beda fase $\phi$ antara $\mathbf{E}$ dan $\mathbf{H}$. Artinya, saat medan listrik mencapai puncaknya, medan magnet belum tentu di puncak (tertinggal sebesar sudut $\phi$).
(a) Medan Listrik Phasor ($\mathbf{E}_s$)
$$\mathbf{E}_s = -\eta (\mathbf{a}_x \times \mathbf{H}_s)$$
$$\mathbf{E}_s = -|\eta|[\mathbf{a}_x \times (H_{0y} \mathbf{a}_y + H_{0z} \mathbf{a}_z)] e^{-\alpha x} e^{-j\beta x} e^{j\phi}$$
$$\mathbf{E}_s = -|\eta|(H_{0y} (\mathbf{a}_x \times \mathbf{a}_y) – H_{0z} (\mathbf{a}_x \times \mathbf{a}_z)) e^{-\alpha x} e^{-j\beta x + j\phi}$$
$$\mathbf{E_s = |\eta| (H_{0z} \mathbf{a}_y – H_{0y} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{-j(\beta x – \phi)} \text{ V/m}}$$
(b) Bentuk Sesaat Medan Listrik ($\mathcal{E}(x, t)$)
$$\mathcal{E}(x, t) = \text{Re} [E_s e^{j \omega t}]$$
$$\mathcal{E}(x, t) = \text{Re} |\eta| (H_{0z} \mathbf{a}_y – H_{0y} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{-j(\beta x – \phi)} e^{j \omega t}$$
Kita selesaikan bagian imajiner
$$\text{Re} = e^{-j(\beta x – \phi)} e^{j \omega t}$$
$$\text{Re} = e^{-j(\beta x – \phi) + j \omega t}$$
$$\text{Re} = e^{-j(\beta x – \phi – \omega t)}$$
$$\text{Re} = e^{j(\omega t -\beta x + \phi)}$$
$$\text{Re} = \cos(\omega t -\beta x + \phi) + \sin(\omega t -\beta x + \phi)$$
$$\cos(\omega t -\beta x + \phi)$$
Kita selesaikan persamaannya
$$\mathbf{\mathcal{E}(x, t) = |\eta| (H_{0z} \mathbf{a}_y – H_{0y} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} \cos(\omega t -\beta x + \phi) \text{ V/m}}$$
(c) Bentuk Sesaat Medan Magnet ($\mathcal{H}(x, t)$)
$$\mathcal{H}(x, t) = \text{Re} [H_s e^{j \omega t}]$$
$$\mathcal{H}(x, t) = \text{Re} [(H_{0y} \mathbf{a}_y + H_{0z} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{-j\beta x} e^{j \omega t}]$$
Kita selesaikan bagian imajiner
$$\text{Re} = e^{-j(\beta x – \phi)} e^{j \omega t}$$
$$\text{Re} = e^{-j(\beta x – \phi) + j \omega t}$$
$$\text{Re} = e^{-j(\beta x – \phi – \omega t)}$$
$$\text{Re} = e^{j(\omega t -\beta x + \phi)}$$
$$\text{Re} = \cos(\omega t -\beta x + \phi) + \sin(\omega t -\beta x + \phi)$$
$$\cos(\omega t -\beta x + \phi)$$
Kita selesaikan persamaannya
$$\mathbf{\mathcal{H}(x, t) = (H_{0y} \mathbf{a}_y + H_{0z} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} \cos(\omega t – \beta x) \text{ A/m}}$$
(d) Rata-rata Vektor Poynting ($\langle \mathbf{S} \rangle$)
Kita cari bentuk konjugat dari medan magnet
$$\mathbf{H}_s^* = (H_{0y} \mathbf{a}_y + H_{0z} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{j\beta x}$$
Kita cari vektor poynting
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \text{Re} [\mathbf{E}_s \times \mathbf{H}_s^*]$$
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \text{Re} [ |\eta| (H_{0z} \mathbf{a}_y – H_{0y} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{-j(\beta x – \phi)} \times (H_{0y} \mathbf{a}_y + H_{0z} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{j\beta x} ]$$
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{|\eta|}{2} \cdot (H_{0z} \mathbf{a}_y – H_{0y} \mathbf{a}_z) \times (H_{0y} \mathbf{a}_y + H_{0z} \mathbf{a}_z) \cdot e^{-\alpha x} \times e^{-\alpha x} \cdot e^{-j(\beta x – \phi)} \cdot e^{j\beta x}$$
Kita selesaikan bagian vektor
$$(H_{0z} \mathbf{a}_y – H_{0y} \mathbf{a}_z) \times (H_{0y} \mathbf{a}_y + H_{0z} \mathbf{a}_z)$$
$$H_{0z}H_{0y}(\mathbf{a}_y \times \mathbf{a}_y) + H_{0z}^2(\mathbf{a}_y \times \mathbf{a}_z) – H_{0y}^2(\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_y) – H_{0y}H_{0z}(\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_z)$$
$$H_{0z}H_{0y}(0) + H_{0z}^2(\mathbf{a}_x) – H_{0y}^2(-\mathbf{a}_x) – H_{0y}H_{0z}(0)$$
$$H_{0y}^2(\mathbf{a}_x) + H_{0z}^2(\mathbf{a}_x)$$
$$(H_{0y}^2 + H_{0z}^2)\mathbf{a}_x$$
Kita selesaikan bagian imajiner
$$\text{Re} = e^{-j(\beta x – \phi)} e^{j \beta x}$$
$$\text{Re} = e^{-j(\beta x – \phi) + j \beta x}$$
$$\text{Re} = e^{-j(\beta x – \phi – \beta x)}$$
$$\text{Re} = e^{j(\phi)}$$
$$\text{Re} = \cos(\phi) + \sin(\phi)$$
$$\cos(\phi)$$
Kita selesaikan persamaannya
$$\mathbf{\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{|\eta|}{2} (H_{0y}^2 + H_{0z}^2) e^{-2\alpha x} \cos \phi \, \mathbf{a}_x \text{ W/m}^2}$$
