Dua buah gelombang tegangan dengan amplitudo sama $V_0$ dan frekuensi sudut $\omega$ merambat ke arah $+z$ pada saluran transmisi berugik (lossy). Saluran tersebut memiliki koefisien redaman $\alpha$, konstanta fasa $\beta$, dan impedansi karakteristik $Z_0 = |Z_0|e^{j\delta}$. Salah satu gelombang memiliki pergeseran fasa sebesar $\phi$ radian terhadap gelombang lainnya. Tentukan (a) Ekspresi tegangan total hasil superposisi kedua gelombang dalam bentuk instan riil tunggal, (b) Ekspresi arus total pada saluran dalam bentuk fungsi gelombang tunggal, (c) Ekspresi daya rata-rata (average power) pada saluran tersebut.
(a) Tegangan Total Instan
Bentuk fasor kedua gelombang adalah
- $V_{s1} = V_0 e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}$
- $V_{s2} = V_0 e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} e^{j\phi}$
Kita jumlahkan kedua gelombang
$$V_{s,net} = V_{s1} + V_{s2}$$
$$V_{s,net} = V_0 e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} + V_0 e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} e^{j\phi}$$
$$V_{s,net} = V_0 e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}(1 + e^{j\phi})$$
Kita selesaikan bagian eksponensial
$$1 + e^{j\phi}$$
$$e^{j\phi/2}(e^{-j\phi/2} + e^{j\phi/2})$$
$$2 \cos(\phi/2) e^{j\phi/2}$$
Catatan: hal ini berlaku sesuai sifat cosinus yaitu $\cos \theta = \frac{e^{-j\theta} + e^{j\theta}}{2}$
Maka hasilnya menjadi
$$V_{s,net} = V_0 e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}(2 \cos(\phi/2) e^{j\phi/2})$$
$$V_{s,net} = 2 V_0 \cos(\phi/2) e^{-\alpha z} (e^{-j\beta z} e^{j\phi/2})$$
Kita selesaikan bagian eksponensial
$$e^{-j\beta z} e^{j\phi/2}$$
$$e^{-j\beta z + j\phi/2}$$
$$e^{-j(\beta z – \phi/2)}$$
Hasil akhirnya adalah
$$\mathbf{V_{s,net} = 2 V_0 \cos(\phi/2) e^{-\alpha z} (e^{-j(\beta z – \phi/2)})}$$
Kita akan mencari bilangan real
$$v(z,t) = \text{Re}[V_{s,net} e^{j\omega t}]$$
$$v(z,t) = \text{Re}[2 V_0 \cos(\phi/2) e^{-\alpha z} (e^{-j(\beta z – \phi/2)}) \cdot e^{j\omega t}]$$
Kita selesaikan bagian eksponensial
$$e^{-j(\beta z – \phi/2)} \cdot e^{j\omega t}$$
$$e^{-j\beta z + j\phi/2} \cdot e^{j\omega t}$$
$$e^{-j\beta z + j\phi/2 + j\omega t}$$
$$e^{j(-\beta z + \phi/2 + \omega t)}$$
Tranformasi ke bilangan trigonometri
$$e^{j(\omega t – \beta z + \phi/2)}$$
$$\cos(\omega t – \beta z + \phi/2) + j\sin(\omega t – \beta z + \phi/2)$$
Masukkan ke bilangan real
$$v(z,t) = 2 V_0 \cos(\phi/2) e^{-\alpha z} \text{Re}[\cos(\omega t – \beta z + \phi/2) + j\sin(\omega t – \beta z + \phi/2)]$$
$$\mathbf{v(z,t) = 2V_0 e^{-\alpha z} \cos(\phi/2) \cos(\omega t – \beta z + \phi/2)}$$
Catatan: karena kita menggunakan operator Real, kita wajib membuang bilangan imajiner
(b) Arus Total Instan
Arus didapat dengan membagi tegangan fasor dengan impedansi
$$I_{s,net} = \frac{V_{s,net}}{Z_0}$$
$$I_{s,net} = \frac{2V_0 e^{-\alpha z} \cos(\phi/2) e^{-j(\beta z – \phi/2)}}{|Z_0|e^{j\delta}}$$
$$I_{s,net} = \frac{2V_0 e^{-\alpha z} \cos(\phi/2)}{|Z_0|} \cdot \frac{e^{-j(\beta z – \phi/2)}}{e^{j\delta}}$$
$$I_{s,net} = \frac{2V_0 e^{-\alpha z} \cos(\phi/2)}{|Z_0|} \cdot e^{-j(\beta z – \phi/2) -j\delta}$$
$$\mathbf{I_{s,net} = \frac{2V_0 e^{-\alpha z} \cos(\phi/2)}{|Z_0|} e^{-j(\beta z – \phi/2 + \delta)}}$$
Kita akan mencari bilangan real
$$i(z,t) = \text{Re}[I_{s,net} e^{j\omega t}]$$
$$i(z,t) = \text{Re}\left[\frac{2V_0 e^{-\alpha z} \cos(\phi/2)}{|Z_0|} e^{-j(\beta z – \phi/2 + \delta)} \cdot e^{j\omega t}\right]$$
Kita selesaikan bagian eksponensial
$$e^{-j(\beta z – \phi/2 + \delta)} \cdot e^{j\omega t}$$
$$e^{-j\beta z + j\phi/2 – j\delta} \cdot e^{j\omega t}$$
$$e^{-j\beta z + j\phi/2 – j\delta + j\omega t}$$
$$e^{j(-\beta z + \phi/2 – \delta + \omega t)}$$
Transformasi ke bilangan trigonometri
$$e^{j(\omega t – \beta z + \phi/2 – \delta)}$$
$$\cos(\omega t – \beta z + \phi/2 – \delta) + j\sin(\omega t – \beta z + \phi/2 – \delta)$$
Masukkan ke bilangan real
$$i(z,t) = \frac{2V_0 e^{-\alpha z} \cos(\phi/2)}{|Z_0|} \text{Re}[\cos(\omega t – \beta z + \phi/2 – \delta) + j\sin(\omega t – \beta z + \phi/2 – \delta)]$$
$$\mathbf{i(z,t) = \frac{2V_0 e^{-\alpha z} \cos(\phi/2)}{|Z_0|} \cos(\omega t – \beta z + \phi/2 – \delta)}$$
Catatan: karena kita menggunakan operator Real, kita wajib membuang bilangan imajiner
