Sebuah gelombang tegangan sinusoidal dengan amplitudo $V_0$, frekuensi $\omega$, dan konstanta fasa $\beta$ merambat ke arah $+z$ (forward) menuju ujung beban terbuka (open circuit) pada saluran transmisi tanpa rugi-rugi (lossless) dengan impedansi karakteristik $Z_0$. Di ujung saluran, gelombang terpantul sepenuhnya tanpa pergeseran fasa (untuk tegangan). Gelombang pantul ini berinterferensi dengan gelombang datang sehingga menghasilkan pola gelombang berdiri. Pola gelombang berdiri untuk arus ($i$) di dalam saluran tersebut. Nyatakan hasilnya dalam bentuk instan riil dan sederhanakan sesederhana mungkin.
Menentukan Bentuk Fasor Arus
Pada ujung beban terbuka ($z=0$ sebagai referensi ujung):
- Tegangan ($V$): Arus tidak bisa mengalir, maka tegangan akan memaksimal. Koefisien refleksi tegangan adalah $\Gamma_v = +1$ (pantulan sefasa).
- Arus ($I$): Arus harus bernilai nol di ujung terbuka. Agar ini terjadi, gelombang arus pantul harus memiliki tanda berlawanan dengan gelombang datang. Koefisien refleksi arus adalah $\Gamma_i = -1$ (pantulan berlawanan fasa).
Gelombang berdiri adalah hasil superposisi gelombang yang bergerak ke kanan ($+z$) dan ke kiri ($-z$).
- Untuk tegangan, superposisi menghasilkan fungsi $\cos(\beta z)$.
- Untuk arus, karena ada perbedaan tanda pada pantulan, superposisi biasanya menghasilkan fungsi $\sin(\beta z)$.
Misalkan ujung saluran berada pada $z = 0$. Gelombang datang merambat ke arah $+z$, namun dalam analisis gelombang berdiri, kita sering menggunakan variabel $d = -z$ (jarak dari beban). Untuk kemudahan, kita gunakan bentuk fasor standar:
Arus Datang ($I^+$):
$$I^+ = \frac{V_0}{Z_0} e^{-j\beta z}$$
Arus Pantul ($I^-$):
Karena beban terbuka ($Z_L = \infty$), maka $\Gamma_i = -1$.
$$I^- = -\frac{V_0}{Z_0} e^{+j\beta z}$$
Total arus fasor ($I_s$):
$$I_s(z) = I^+ + I^-$$
$$I_S(z) = \frac{V_0}{Z_0} e^{-j\beta z} – \frac{V_0}{Z_0} e^{+j\beta z}$$
$$I_s(z) = \frac{V_0}{Z_0} \left( e^{-j\beta z} – e^{+j\beta z} \right)$$
Menggunakan Identitas Euler
Kita selesaikan bagian eksponensial
$$e^{-j\beta z} – e^{+j\beta z}$$
$$-(e^{j\beta z} – e^{-j\beta z})$$
$$-2j \sin(\beta z)$$
Catatan: hal ini berlaku sesuai sifat sinus yaitu $\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} – e^{-j\theta}}{2j}$
Substitusikan kembali ke persamaan awal
$$I_s(z) = \frac{V_0}{Z_0} [-2j \sin(\beta z)]$$
$$I_s(z) = -j \frac{2V_0}{Z_0} \sin(\beta z)$$
Konversi ke Bentuk Instan Riil
Bentuk instan riil didapat dengan mengalikan fasor dengan $e^{j\omega t}$ dan mengambil bagian riilnya:
$$i(z, t) = \text{Re} \left[ I_s(z) e^{j\omega t} \right]$$
$$i(z, t) = \text{Re} \left[-j \frac{2V_0}{Z_0} \sin(\beta z) (\cos \omega t + j \sin \omega t) \right]$$
$$i(z, t) = \frac{2V_0}{Z_0} \text{Re} [-j\sin(\beta z) (\cos \omega t + j \sin \omega t)]$$
$$i(z, t) = \frac{2V_0}{Z_0} \text{Re} [-j\sin(\beta z)(\cos \omega t) – j^2\sin(\beta z)\sin \omega t)]$$
$$i(z, t) = \frac{2V_0}{Z_0} \text{Re} [-j\sin(\beta z)(\cos \omega t) + \sin(\beta z)\sin \omega t)]$$
$$i(z, t) = \frac{2V_0}{Z_0} [\sin(\beta z)\sin \omega t)]$$
Catatan: karena kita menggunakan operator Real, kita wajib membuang bilangan imajiner
