Sebuah dinding datar dengan ketebalan $2L = 60 \text{ mm}$ dan konduktivitas termal $k = 5 \text{ W/m} \cdot \text{K}$ mengalami pembangkitan panas volumetrik seragam dengan laju $\dot{q}$, sementara perpindahan panas konveksi terjadi pada kedua permukaannya ($x = −L, x = +L$), yang masing-masing terpapar fluida bersuhu $T_\infty = 30^\circ \text{C}$. Dalam kondisi tunak (steady-state), distribusi suhu di dalam dinding berbentuk $T(x) = a + bx + cx^2$, dengan $a = 86,0^\circ \text{C}$, $b = −200^\circ \text{ C/m}$, $c = −2 \times 10^4 {}^\circ{C/m}^2$, dan $x$ dalam satuan meter. Titik asal koordinat x berada di bidang tengah dinding.
(a) Buatlah sketsa distribusi suhu dan identifikasi fitur fisik yang signifikan.
(b) Berapakah laju pembangkitan panas volumetrik $\dot{q}$ di dalam dinding?
(c) Tentukan fluks panas permukaan, $q”(-L)$ dan $q”(+L)$. Bagaimana hubungan fluks-fluks ini dengan laju pembangkitan panas?
(d) Berapakah koefisien konveksi untuk permukaan pada $x = −L$ dan $x = +L$?
(e) Dapatkan persamaan untuk distribusi fluks panas $q”(x)$. Apakah fluks panas bernilai nol di lokasi mana pun? Jelaskan fitur signifikan dari distribusi tersebut.
(f) Jika sumber pembangkitan panas tiba-tiba dimatikan ($\dot{q} = 0$), berapakah laju perubahan energi yang tersimpan di dalam dinding pada saat itu?
(g) Suhu berapa yang akhirnya akan dicapai dinding dengan $\dot{q} = 0$? Berapa banyak energi yang harus dibuang oleh fluida per satuan luas dinding ($\text{ J/m}^2$) untuk mencapai keadaan ini? Massa jenis dan kalor jenis material dinding masing-masing adalah $2600 \text{ kg/m}^3$ dan $800 \text{ J/kg} \cdot \text{K}$.
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Ketebalan Dinding ($L$): $30 \text{ mm}$
- Konduktivitas Termal ($k$): $5 \text{ W/m} \cdot \text{K}$
- Suhu Fluida ($T_\infty$): $30^\circ \text{C}$
- Massa Jenis ($\rho$): $2600 \text{ kg/m}^3$
- Kalor Jenis pada Tekanan Konstan ($c_p$): $800 \text{ J/kg} \cdot \text{K}$
- Fungsi Suhu ($T(x)$): $a + bx + cx^2$
- Konstanta a ($a$): $86,0^\circ \text{C}$
- Konstanta b ($b$): $−200^\circ \text{ C/m}$
- Konstanta c ($c$): $−2 \times 10^4 {}^\circ{C/m}^2$
(a) Sketsa Distribusi Suhu & Fitur Fisik
Kita selesaikan fungsi suhu tersebut
$$T(x) = a + bx + cx^2$$
$$T(x) = 86 – 200x – 20000x^2$$
- Suhu maksimum ($T_{max}$) terjadi di lokasi di mana $\frac{dT}{dx} = 0$.
- Kita turunkan suhu terhadap posisi untuk mendapatkan nilai posisi.
- Nilai posisi yang diketahui dapat disubstitusikan ke dalam fungsi yang ada.
Selesaikan turunan suhu terhadap posisi
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx}(86 – 200x – 20000x^2)$$
$$0 = -200 – 40000x$$
$$200 = -40000x$$
$$x = -\frac{200}{40000}$$
$$x = -0,005 \text{ m}$$
Selesaikan fungsi suhu untuk mencari suhu maksimum
$$T(x) = 86 – 200x – 20000x^2$$
$$T(x) = 86 – 200(-0,005) – 20000(-0,005)^2$$
$$T(x) = 86 + 1 – 20000(0,000025)$$
$$T(x) = 87 – 0,5$$
$$T(x) = 86,5^\circ \text{C}$$
- Kita substitusikan untuk posisi negatif
$$T(-L) = T(-0,03)$$
$$T(-L) = 86 – 200(-0,03) – 20000(-0,03)^2$$
$$T(-L) = 86 + 6 – 18$$
$$T(-L) = 74^\circ \text{C}$$
- Kita substitusikan untuk posisi positif
$$T(+L) = T(+0,03)$$
$$T(+L) = 86 – 200(0,03) – 20000(0,03)^2$$
$$T(+L) = 86 – 6 – 18$$
$$T(+L) = 62^\circ \text{C}$$
Persamaan $T(x)$ berbentuk parabola terbuka ke bawah ($c < 0$).
Adanya suku linier ($bx$) menyebabkan profil suhu tidak simetris terhadap bidang tengah ($x = 0$).
(b) Laju Pembangkitan Panas Volumetrik ($\dot{q}$)
Turunkan suhu terhadap posisi untuk pertama kalinya
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx}(86 – 200x – 20000x^2)$$
$$\frac{dT}{dx} = -200 – 40000x$$
Turunkan suhu terhadap posisi untuk kedua kalinya
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = \frac{d}{dx}(-200 – 40000x)$$
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = -40000$$
Kita manipulasi persamaan difusi kalor satu dimensi
$$k \frac{d^2 T}{d x^2} + \dot{q} = 0$$
$$\dot{q} = -k \frac{d^2 T}{d x^2}$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$\dot{q} = -5 \cdot -40000$$
$$\dot{q} = 200000 \text{ W/m}^3$$
(c) Fluks Panas Permukaan $q”(-L)$ dan $q”(+L)$
- Kita uji pada titik $-L = -0,03 \text{ m}$
$$q”(x) = -k \frac{dT}{dx}$$
$$q”(-L) = -5 \cdot (-200 – 40000(-0,03))$$
$$q”(-L) = -5 \cdot (-200 + 1200)$$
$$q”(-L) = -5 \cdot (1000)$$
$$q”(-L) = -5000 \text{ W/m}^2$$
- Kita uji pada titik $+L = 0,03 \text{ m}$
$$q”(x) = -k \frac{dT}{dx}$$
$$q”(+L) = -5 \cdot (-200 – 40000(0,03))$$
$$q”(+L) = -5 \cdot (-200 – 1200)$$
$$q”(+L) = -5 \cdot (-1400)$$
$$q”(+L) = 7000 \text{ W/m}^2$$
- Kita uji pada titik $2L = 0,06 \text{ m}$
$$\dot{q} (2L) = \dot{q} \cdot 2L$$
$$\dot{q} (2L) = 200000 \cdot 0,06$$
$$\dot{q} (2L) = 12000 \text{ W/m}^2$$
Sesuai kesetimbangan energi kondisi tunak pada seluruh dinding:
$$q”_{out} – q”_{in} = \dot{q} (2L)$$
$$q”(+L) – q”(-L) = \dot{q} (2L)$$
$$7000 – (-5000) = 200000 \cdot 0,06$$
$$12000 = 12000$$
(d) Koefisien Konveksi $h$ pada $x = -L$ dan $x = +L$
Kita gunakan hukum pendinginan Newton pada titik $x = -0,03$
$$|q”(-L)| = h_{-L} (T(-L) – T_\infty)$$
$$|-5000| = h_{-L} \cdot (74 – 30)$$
$$5000 = h_{-L} \cdot 44$$
$$h_{-L} = \frac{5000}{44}$$
$$h_{-L} = 113,636 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$$
Kita gunakan hukum pendinginan Newton pada titik $x = 0,03$
$$|q”(+L)| = h_{+L} (T(+L) – T_\infty)$$
$$|7000| = h_{+L} \cdot (62 – 30)$$
$$7000 = h_{+L} \cdot 32$$
$$h_{+L} = \frac{7000}{32}$$
$$h_{+L} = 218,750 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$$
(e) Distribusi Fluks Panas $q”(x)$
Kita cari fungsi fluks kalor menggunakan hukum Fourier
$$q”(x) = -k \frac{dT}{dx}$$
$$q”(x) = -5 (-200 – 40000x)$$
$$q”(x) = 1000 + 200000x$$
Kita uji pada lokasi fluks panas nol
$$0 = 1000 + 200000x$$
$$-1000 = 200000x$$
$$x = -\frac{1000}{200000}$$
$$x = -0,005 \text{ m}$$
Fluks panas bernilai nol tepat pada lokasi suhu maksimum ($x = -5\text{ mm}$). Lokasi ini berfungsi sebagai thermal divide (pemisah aliran panas), semua panas yang dibangkitkan di sebelah kiri $x = -5\text{ mm}$ mengalir keluar ke permukaan kiri, sedangkan panas di sebelah kanan mengalir ke permukaan kanan.
(f) Laju Perubahan Energi Tersimpan Tiba-Tiba ($\dot{E}_{st}$)
Pada saat $\dot{q}$ tiba-tiba dimatikan ($\dot{q} = 0$), kondisi batas dan profil suhu saat itu masih sama dengan keadaan tunak sebelumnya:
$$\dot{E}_{st} = \dot{E}_{in} – \dot{E}_{out} + \dot{E}_{gen}$$
$$\dot{E}”_{st} =\dot{E}”_{in} – \dot{E}”_{out} + \dot{E}”_{gen}$$
$$\dot{E}”_{st} = q”(+L) – q”(-L) + 0$$
Substitusi nilai-nilainya
$$\dot{E}”_{st} = -7000 – 5000 + 0$$
$$\dot{E}”_{st} = -12000 \text{ W/m}^3$$
Tanda negatif menunjukkan energi internal dinding berkurang atau mendingin
(g) Suhu Akhir & Energi Total yang Dibuang
Setelah waktu yang sangat lama tanpa pembangkitan panas ($\dot{q} = 0$), seluruh dinding akan mencapai kesetimbangan termal dengan fluida sekitar:
$$T_f = T_\infty = 30,0^\circ\text{C}$$
Kita selesaikan rumus mencari suhu akhir
$$\bar{T}_i = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{+L} (a + bx + cx^2) dx$$
$$\bar{T}_i = \frac{1}{2L} \left[ax + \frac{bx^2}{2} + \frac{cx^3}{3} \right]_{-L}^{+L}$$
$$\bar{T}_i = \frac{1}{2L} \left[a(L) + \frac{b(L)^2}{2} + \frac{c(L)^3}{3} – (-a(L)) – \frac{b(-L)^2}{2} – \frac{c(-L)^3}{3} \right]$$
$$\bar{T}_i = \frac{1}{2L} \left[aL + \frac{bL^2}{2} + \frac{cL^3}{3} – (-aL) – \frac{bL^2}{2} – \frac{-cL^3}{3} \right]$$
$$\bar{T}_i = \frac{1}{2L} \left[aL + aL + \frac{bL^2}{2} – \frac{bL^2}{2} + \frac{cL^3}{3} + \frac{cL^3}{3} \right]$$
$$\bar{T}_i = \frac{1}{2L} \left[2aL + \frac{2cL^3}{3}\right]$$
$$\bar{T}_i = a + \frac{cL^2}{3}$$
Substitusi nilai-nilainya
$$\bar{T}_i = a + \frac{cL^2}{3}$$
$$\bar{T}_i = 86 + \frac{(-20000) \cdot (0,03)^2}{3}$$
$$\bar{T}_i = 86 + \frac{-20000 \cdot 0,0009}{3}$$
$$\bar{T}_i = 86 + \frac{-18}{3}$$
$$\bar{T}_i = 86 – 6$$
$$\bar{T}_i = 80^\circ \text{C}$$
Kita hitung energi yang dibuang
$$Q” = \rho (2L) c_p (\bar{T}_i – T_f)$$
$$Q” = 2600 \cdot 0,06 \cdot 800 \cdot (80 – 30)$$
$$Q” = 124800 \cdot 50$$
$$Q” = 6240000 \text{ J/m}^2$$
