Distribusi suhu keadaan tunak pada dinding satu dimensi dengan konduktivitas termal $50 \text{ W/m} \cdot \text{K}$ dan ketebalan $50 \text{ mm}$ diketahui mengikuti persamaan $T(^\circ C) = a + bx^2$, dengan $a = 200^\circ \text{C}$, $b = −2000^\circ \text{ C/m}^2$, dan $x$ dalam satuan meter.
(a) Berapakah laju pembangkitan panas q̇ di dalam dinding tersebut?
(b) Tentukan fluks panas pada kedua permukaan dinding. Bagaimana hubungan fluks-fluks panas tersebut dengan laju pembangkitan panas?
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Ketebalan Dinding ($L$): $50 \text{ mm}$
- Konduktivitas Termal ($k$): $50 \text{ W/m} \cdot \text{K}$
- Fungsi Suhu ($T({}^\circ \text{C})$): $a + bx^2$
- Konstanta a ($a$): $200^\circ \text{C}$
- Konstanta b ($b$): $-2000^\circ \text{C/m}^2$
(a) Laju Pembangkitan Panas Volumetrik
- Turunkan suhu terhadap posisi untuk pertama kalinya
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx}(200 – 2000x^2)$$
$$\frac{dT}{dx} = -4000x$$
- Turunkan suhu terhadap posisi untuk kedua kalinya
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = \frac{d}{dx}(-4000x)$$
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = -4000$$
- Hitung laju pembangkitan panas menggunakan hukum Fourier pada konduksi
$$\dot{q} = -k \frac{d^2 T}{d x^2}$$
$$\dot{q} = -50 \cdot -4000$$
$$\dot{q} = 200000 \text{ W}$$
(b) Fluks Panas dan Hubungannya dengan Laju Pembangkitan Panas
- Kita gunakan hukum Fourier pada konduksi
$$q”(x) = -k \frac{dT}{dx}$$
$$q”(x) = -50 \cdot -4000x$$
$$q”(x) = 200000x$$
- Kita hitung pada permukaan kiri ($x = 0$):
$$q”(0) = 200000 \cdot 0$$
$$q”(0) = 0 \text{ W/m}^2$$
- Kita hitung pada permukaan kanan ($x = L = 0,05$):
$$q”(0,05) = 200000 \cdot 0,05$$
$$q”(0,05) = 10000 \text{ W/m}^2$$
Berdasarkan neraca energi kondisi tunak (steady-state energy balance) pada dinding bidang:
$$\text{Energy Out} – \text{Energy In} = \text{Energy Generated}$$
$$q”(L) – q”(0) = \dot{q} \cdot L$$
$$q”(0,05) – q”(0) = \dot{q} \cdot L$$
Substitusi nilai-nilainya
$$10000 – 0 = 200000 \cdot 0,05$$
$$10000 = 10000$$
Selisih antara fluks panas yang keluar di $x = L$ dan fluks panas yang masuk di $x = 0$ secara tepat sama dengan total energi panas yang dibangkitkan per satuan luas permukaan sepanjang dinding ($\dot{q} \cdot L$).
