Jika $f(\phi) = \cos \phi + j \sin \phi$, tunjukkan bahwa $f(\phi) = e^{j\phi}$.
Ini merupakan salah satu soal yang bagus karena membongkar bagaimana rumus Euler yang terkenal tersebut bisa ada
Rumus Euler merupakan jembatan paling penting antara trigonometri dan bilangan kompleks dalam analisis rangkaian AC.
Untuk menyelesaikannya, kita bisa menggunakan deret Taylor.
Deret Taylor untuk $e^{x}$
$$e^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$$
Itu adalah penjabaran sebenarnya dari bilangan Euler.
Misalkan kita gunakan $e^1$.
Hasil kalkulator adalah
$$e^1 \approx 2,7182$$
Hasil dengan deret Taylor adalah
$$e^{1} = 1 + 1 + \frac{1^2}{2!} + \frac{1^3}{3!} + \frac{1^4}{4!} + \frac{1^5}{5!} + \dots$$
$$e^{1} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \dots$$
$$e^{1} = 1 + 1 + 0,5 + 0,1667 + 0,0416 + 0,0083 + \dots$$
$$e^1 \approx 2,7166$$
Lihat, hasilnya hampir sama $$e_{kalkulator} \approx e_{taylor}$$
Ganti $x$ dengan $j\phi$
Kita ganti deret Taylor yang sebelumnya menggunakan $x$ dengan $j\phi$
$$e^{j\phi} = 1 + (j\phi) + \frac{(j\phi)^2}{2!} + \frac{(j\phi)^3}{3!} + \frac{(j\phi)^4}{4!} + \frac{(j\phi)^5}{5!} + \dots$$
Sederhanakan pangkat dari j
Kita tahu bahwa dalam bilangan imajener, jika pangkatnya ganjil hasilnya berupa $\sqrt{-1}$, jika pangkatnya genap hasilnya berupa $-1$.
Ingat kalau j bernilai $\sqrt{-1}$, sehingga
$$j^1 = \sqrt{-1} = j$$
$$j^2 = -1$$
$$j^3 = \sqrt{-1} = j$$
$$j^4 = -1$$
$$j^5 = \sqrt{-1} = j$$
Substitusikan ke persamaan
$$e^{j\phi} = 1 + j\phi – \frac{\phi^2}{2!} – j\frac{\phi^3}{3!} + \frac{\phi^4}{4!} + j\frac{\phi^5}{5!} – \dots$$
Pisahkan Bagian Real dan Imajiner
Bagian real berupa bilangan biasa, sedangkan bagian imajiner berupa bilangan j dan produknya.
Bagian Real: $$\left( 1 – \frac{\phi^2}{2!} + \frac{\phi^4}{4!} – \dots \right)$$
Bagian Imajiner: $$j \left( \phi – \frac{\phi^3}{3!} + \frac{\phi^5}{5!} – \dots \right)$$
Identifikasi Bagian Real (cos)
Sesuai rumus yang ada dalam kalkulus, kita tahu bahwa
$$\cos \phi = 1 – \frac{\phi^2}{2!} + \frac{\phi^4}{4!} – \dots$$
Hal tersebut sesuai dengan prinsip kosinus, kita bisa mencoba menghitungnya dengan bilangan sederhana.
Misalkan kita gunakan $\text{cos}45^\circ$.
Hasil kalkulator adalah
$$\text{cos} 45^\circ = 0,7071$$
Hasil dengan deret Taylor adalah
Catatan: Dalam perhitungan seret Taylor pada fungsi sin dan cos, gunakan satuan radian.
Ubah 45 menjadi satuan radian
$$\phi = \frac{45}{180} \cdot \pi$$
$$\phi \approx 0,25 \cdot 3,1428$$
$$\phi \approx 0,7857$$
Sekarang kita tinggal substitusikan ke deret Taylor kosinus
$$\cos 45^\circ = 1 – \frac{0,7857^2}{2!} + \frac{0,7857^4}{4!} – \dots$$
$$\cos 45^\circ = 1 – \frac{0,6173}{2} – \frac{0,3810}{24} – \dots$$
$$\cos 45^\circ = 1 – 0,3086 + 0,0158 \dots$$
$$\cos 45^\circ \approx 0,7072$$
Lihat, hasilnya hampir sama $$e_{kalkulator} \approx e_{taylor}$$
Maka kita bisa anggap pernyataan tersebut benar.
Identifikasi Bagian Imajiner (sin)
Sesuai rumus yang ada dalam kalkulus, kita tahu bahwa
$$\sin \phi = \phi – \frac{\phi^3}{3!} + \frac{\phi^5}{5!} – \dots$$
Hal tersebut sesuai dengan prinsip sinus, kita bisa mencoba menghitungnya dengan bilangan sederhana.
Misalkan kita gunakan $\text{sin}45^\circ$.
Hasil kalkulator adalah
$$\text{sin} 45^\circ = 0,7071$$
Hasil dengan deret Taylor adalah
Catatan: Dalam perhitungan seret Taylor pada fungsi sin dan cos, gunakan satuan radian.
Ubah 45 menjadi satuan radian
$$\phi = \frac{45}{180} \cdot \pi$$
$$\phi \approx 0,25 \cdot 3,1428$$
$$\phi \approx 0,7857$$
Sekarang kita tinggal substitusikan ke deret Taylor sinus
$$\sin 45^\circ = 0,7857 – \frac{0,7857^3}{3!} + \frac{0,7857^5}{5!} – \dots$$
$$\sin 45^\circ = 0,7857 – \frac{0,4850}{6} – \frac{0,2994}{120} – \dots$$
$$\sin 45^\circ = 0,7857 – 0,0808 + 0,0024 \dots$$
$$\sin 45^\circ \approx 0,7073$$
Lihat, hasilnya hampir sama $$e_{kalkulator} \approx e_{taylor}$$
Maka kita bisa anggap pernyataan tersebut benar.
Hasil Akhir
Dengan demikian, hasilnya adalah $$e^{j\phi} = \cos \phi + j \sin \phi$$
