Untuk pasangan sinusoid berikut ini, tentukan manakah yang mendahului (leads) dan berapa besar selisih sudutnya.
(a) $v(t) = 10 \cos(4t – 60^\circ)$ dan $i(t) = 4 \sin(4t + 50^\circ)$
(b) $v_1(t) = 4 \cos(377t + 10^\circ)$ dan $v_2(t) = -20 \cos 377t$
(c) $x(t) = 13 \cos 2t + 5 \sin 2t$ dan $y(t) = 15 \cos(2t – 11.8^\circ)$
Kunci untuk mengerjakan soal ini adalah melakukan penyeragaman bentuk dan tinggal membandingkan sudut fase
(a) $v(t) = 10 \cos(4t – 60^\circ)$ dan $i(t) = 4 \sin(4t + 50^\circ)$
Seperti biasa, kita ubah fungsi $\sin$ menjadi fungsi $\cos$ dengan identitas trigonometri $\sin(x) = \cos(x-90^\circ)$
$$i(t) = 4 \cos(4t + 50^\circ – 90^\circ)$$
$$i(t) = 4 \cos(4t – 40^\circ)$$
Sekarang kita tinggal membandingkan keduanya:
$$v(t) = 10 \cos(4t – 60^\circ)$$
$$i(t) = 4 \cos(4t – 40^\circ)$$
Karena pada bagian $i(t)$ nilai sudut fasenya lebih besar (${\phi}_2 > {\phi}_1$) maka $i(t)$ akan mendahului $v(t)$ sebesar $20^\circ$
(b) $v_1(t) = 4 \cos(377t + 10^\circ)$ dan $v_2(t) = -20 \cos 377t$
Perhatikan bahwa nilai kosinus negatif harus diubah ke kosinus positif. Untuk kasus ini, kita menggunakan identitas trigonometri lain, yaitu $-\cos(x) = \cos(x + 180^\circ)$
$$v_2(t) = -(-20)\cos(377t + 180^\circ)$$
$$v_2(t) = 20 \cos(377t + 180^\circ)$$
Sekarang kita tinggal membandingkan keduanya:
$$v_1(t) = 4 \cos(377t + 10^\circ)$$
$$v_2(t) = 20 \cos(377t + 180^\circ)$$
Karena pada bagian $v_2(t)$ nilai sudut fasenya lebih besar (${\phi}_2 > {\phi}_1$) maka $v_2(t)$ akan mendahului $v_1(t)$ sebesar $170^\circ$
(c) $x(t) = 13 \cos 2t + 5 \sin 2t$ dan $y(t) = 15 \cos(2t – 11.8^\circ)$
Perhatikan bahwa pada fungsi $x(t)$ terdapat nilai sin dan cos. Disini kita perlu mengubahnya menjadi fungsi cos tunggal. Untuk menyelesaikannya, kita gunakan identitas trigonometri.
$$A \cos \omega t + B \sin \omega t = C \cos(\omega t – \theta)$$
Dengan nilai $C$ adalah $C = \sqrt{A^2 + B^2}$
Dengan nilai $\theta$ adalah $\theta = \tan^{-1}(B/A)$
Kita hitung nilai $C$:
$$C = \sqrt{13^2 + 5^2}$$
$$C = \sqrt{169+25}$$
$$C = \sqrt{194}$$
$$C \approx 13,92$$
Kita hitung nilai $\theta$:
$$\theta = \tan^{-1}(5/13)$$
$$\theta = \tan^{-1}(0,3846)$$
$$\theta = 21,03^\circ$$
Maka persamaan tersebut menjadi
$$x(t) \approx 13,92 \cos(2t – 21,03^\circ)$$
Sekarang kita tinggal membandingkan keduanya:
$$x(t) \approx 13,92 \cos(2t – 21,03^\circ)$$
$$y(t) = 15 \cos(2t – 11,8^\circ)$$
Karena pada bagian $y(t)$ nilai sudut fasenya lebih besar (${\phi}_2 > {\phi}_1$) maka $y(t)$ akan mendahului $x(t)$ sebesar $9,23^\circ$
