Sebuah dinding datar dengan sifat-sifat konstan dan tanpa pembangkitan panas internal, sebagaimana ditunjukkan pada gambar, pada awalnya berada pada suhu seragam $T_i$. Tiba-tiba, permukaan pada $x = L$ dipanaskan oleh fluida bersuhu $T_\infty$ yang memiliki koefisien perpindahan panas konveksi $h$. Batas pada $x = 0$ terisolasi secara sempurna.
(a) Tuliskan persamaan diferensialnya, serta identifikasi kondisi batas dan kondisi awal yang dapat digunakan untuk menentukan suhu sebagai fungsi posisi dan waktu di dalam dinding tersebut.
(b) Pada koordinat $T-x$, buatlah sketsa distribusi suhu untuk kondisi-kondisi berikut: kondisi awal ($t \le 0$), kondisi tunak ($t \to \infty$), dan dua titik waktu di antaranya.
(c) Pada koordinat $q”_x – t$, buatlah sketsa fluks panas pada lokasi $x = 0$ dan $x = L$. Dengan kata lain, tunjukkan secara kualitatif bagaimana $q”_x(0, t)$ dan $q”_x(L, t)$ berubah terhadap waktu.
(d) Tuliskan persamaan untuk total energi yang dipindahkan ke dinding per satuan volume dinding ($ \text{ J/m}^3$).
(a) Persamaan Diferensial, Kondisi Awal, dan Kondisi Batas
Untuk perpindahan panas transien 1-D dengan sifat termofisika ($k, \rho, c_p$) konstan dan tanpa pembangkitan panas internal ($\dot{q} = 0$):
Kita gunakan persamaan diferensial, tepatnya Persamaan Difusi Panas
$$\rho c_p \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = k \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \frac{k}{\rho c_p} \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}$$
- Pada $t = 0$ (Initial Conditions), suhu dinding uniform/seragam:
$$T(x, 0) = T_i \quad \text{untuk } 0 \le x \le L$$
- Pada $x = 0$ (Boundary Conditions), terisolasi sempurna sehingga tidak ada fluks panas / adiabatik:
$$\left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert{}_{x=0} = 0 \quad \text{untuk } t > 0$$
- Pada $x = L$ (Boundary Conditions), kesetimbangan energi konduksi dan konveksi:
$$-k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert{}_{x=L} = h \left[ T(L, t) – T_\infty \right] \quad \text{untuk } t > 0$$
(b) Sketsa Distribusi Suhu $T(x, t)$
Distribusi suhu di dalam dinding pada beberapa kondisi waktu digambarkan secara kualitatif sebagai berikut:
- $t \le 0$: Garis lurus horizontal pada $T = T_i$.
- $t_1 > 0$ dan $t_2 > t_1$: Suhu di $x = L$ naik paling cepat mendekati $T_\infty$. Gradien suhu di $x = 0$ harus bernilai nol ($\partial T/\partial x = 0$), sehingga kurva memotong sumbu vertikal di $x=0$ secara tegak lurus (garis horizontal/datar).
- $t \to \infty$: Keseluruhan dinding mencapai suhu seragam $T(x, \infty) = T_\infty$.
(c) Sketsa Fluks Panas $q”_x(0, t)$ dan $q”_x(L, t)$ terhadap Waktu
Di $x = 0$ [$q”_x(0, t)$], karena batas terisolasi sempurna, $q”_x(0, t) = 0$ untuk seluruh waktu $t$.
Di $x = L$ [$q”_x(L, t)$],
- Pada $t = 0^+$, fluks panas mencapai nilai maksimum sebesar $q”_{max} = h(T_\infty – T_i)$ karena beda suhu yang besar.
- Seiring berjalannya waktu ($t > 0$), suhu permukaan $T(L, t)$ meningkat mendekati $T_\infty$, sehingga beda suhu $(T_\infty – T(L, t))$ berkurang.
- Secara eksponensial, $q”_x(L, t)$ meluruh hingga mencapai $0$ ketika sistem berada pada kondisi tunak ($t \to \infty$).
(d) Persamaan Total Energi per Satuan Volume
Total energi panas yang diserap/dipindahkan ke dalam dinding dari kondisi awal ($t = 0$) hingga waktu tertentu ($t$) per satuan volume dinding ($\text{J/m}^3$) didasarkan pada perubahan energi dalam material:
$$\frac{\Delta E_{in}}{V} = \rho c_p \left[ \bar{T}(t) – T_i \right]$$
dengan $\bar{T}(t)$ adalah suhu rata-rata dinding pada waktu $t$:
$$\bar{T}(t) = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} T(x, t) \ dx$$
Jika dihubungkan dengan fluks panas yang masuk melalui permukaan $x = L$ dari $t = 0$ sampai $t$:
$$\frac{\Delta E_{in}}{V} = \frac{1}{L} \int_{0}^{t} q”_x(L, t’) \ dt’$$
$$\frac{\Delta E_{in}}{V} = \frac{h}{L} \int_{0}^{t} \left[ T_\infty – T(L, t’) \right] dt’$$
Kedua bentuk persamaan tersebut menyatakan kuantitas energi per satuan volume ($\text{J/m}^3$) yang tersimpan di dalam dinding.
