Sebuah cangkang bola dengan jari-jari dalam $r_i$ dan jari-jari luar $r_o$ memuat komponen-komponen penghasil panas, dan pada suatu saat tertentu, distribusi suhu di dalam cangkang tersebut diketahui berbentuk
$$T(r) = \frac{C_1}{r} + C_2$$
Apakah kondisinya tunak atau transien? Bagaimana fluks kalor dan laju kalor berubah terhadap jari-jari?
Kondisi Proses Tunak atau Transien?
Kita turunkan suhu terhadap jari-jari untuk pertama kalinya
$$\frac{dT}{dr} = \frac{d}{dr} \left(\frac{C_1}{r} + C_2 \right)$$
$$\frac{dT}{dr} = -\frac{C_1}{r^2}$$
Persamaan umum difusi panas 1D radial dalam koordinat bola tanpa pembangkitan panas internal adalah:
$$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(k r^2 \frac{\partial T}{\partial r} \right) = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(k r^2 \left(-\frac{C_1}{r^2} \right) \right) = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(-k C_1 \right) = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{1}{r^2} \cdot 0 = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$0 = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
Nilai massa jenis dan kalor jenis pada tekanan konstan tidak mungkin nol, sehingga
$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = 0 \implies \frac{\partial T}{\partial t} = 0$$
Suhu tidak berubah terhadap waktu ($\frac{\partial T}{\partial t} = 0$), sehingga proses konduksi berada dalam keadaan tunak (steady-state).
Perubahan Fluks Kalor ($q”$) terhadap Jari-jari ($r$)
Kita gunakan hukum Fourier konduksi pada arah radial
$$q” = -k \frac{dT}{dr}$$
$$q” = -k \cdot -\frac{C_1}{r^2}$$
$$q” = \frac{k C_1}{r^2}$$
Fluks kalor ($q”$) berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari ($q” \propto \frac{1}{r^2}$). Semakin besar $r$ (semakin jauh dari pusat), luas permukaan bola bertambah sebanding dengan $r^2$, sehingga energi panas per satuan luas (fluks) semakin mengecil.
Perubahan Laju Kalor ($q_r$) terhadap Jari-jari ($r$)
Laju kalor total adalah hasil kali antara fluks kalor ($q”$) dan luas permukaan bola
$$q_r = q” \cdot A_r$$
$$q_r = \frac{k C_1}{r^2} \cdot (4 \pi r^2)$$
$$q_r = 4 \pi k C_1$$
Berdasarkan prinsip kekekalan energi pada kondisi tunak (steady-state) tanpa pembangkitan energi di dalam cangkang bola itu sendiri, total energi panas yang merambat melalui setiap lapisan kulit bola pada posisi $r$ manapun bernilai tetap sama.
