Pertimbangkan distribusi suhu tunak pada dinding radial (silinder atau bola) dengan jari-jari dalam $r_i$ dan jari-jari luar $r_o$. Distribusi suhunya adalah
$$T(r) = C_1 \ln \left(\frac{r}{r_o} \right) + C_2$$
Apakah dinding tersebut berbentuk silinder atau bola? Bagaimana fluks kalor dan laju perpindahan kalor berubah terhadap jari-jari?
Bentuk Dinding Silinder
Persamaan umum difusi panas 1D steady-state tanpa pembangkitan panas ($\dot{q} = 0$) dan konduktivitas termal ($k$) konstan pada silinder adalah
$$\frac{d}{dr}\left(r \frac{dT}{dr}\right) = 0$$
Kita integrasikan untuk pertama kalinya
$$\int \frac{d}{dr}\left(r \frac{dT}{dr}\right) = C_1 \rightarrow r \frac{dT}{dr} = C_1$$
$$r \frac{dT}{dr} = C_1 \rightarrow \frac{dT}{dr} = \frac{C_1}{r}$$
$$\frac{dT}{dr} = \frac{C_1}{r} \rightarrow dT = C_1 \cdot \frac{1}{r} dr$$
Kita integrasikan suhu untuk mendapatkan fungsi distribusi suhu
$$\int dT = \int C_1 \cdot \frac{1}{r} dr$$
$$T(r) = C_1 \ln (r) + C_2’$$
Kita buat definisi baru dari konstanta kedua
$$C_2′ = C_2 – C_1 \ln(r_o)$$
Substitusikan ke fungsi distribusi suhu dan manipulasi
$$T(r) = C_1 \ln (r) + C_2’$$
$$T(r) = C_1 \ln (r) + C_2 – C_1 \ln(r_o)$$
$$T(r) = C_1 \ln (r) – C_1 \ln(r_o) + C_2$$
$$T(r) = C_1 \ln \left(\frac{r}{r_o} \right) + C_2$$
Terbukti bahwa dinding tersebut berbentuk seperti silinder
Bentuk Dinding Bola
Persamaan umum difusi panas 1D steady-state tanpa pembangkitan panas ($\dot{q} = 0$) dan konduktivitas termal ($k$) konstan pada tabung adalah
$$\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dT}{dr}\right) = 0$$
Kita integrasikan untuk pertama kalinya
$$\int \frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dT}{dr}\right) = C_1 \rightarrow r^2 \frac{dT}{dr} = C_1$$
$$r^2 \frac{dT}{dr} = C_1 \rightarrow \frac{dT}{dr} = \frac{C_1}{r^2}$$
$$\frac{dT}{dr} = \frac{C_1}{r^2} \rightarrow dT = C_1 \cdot \frac{1}{r^2} dr$$
Kita integrasikan suhu untuk mendapatkan fungsi distribusi suhu
$$\int dT = \int C_1 \cdot \frac{1}{r^2} dr$$
$$T(r) = -\frac{C_1}{r} + C_2$$
Tidak terbukti bahwa dinding tersebut berbentuk seperti bola
Perubahan Fluks Kalor ($q”$) terhadap Jari-jari ($r$)
Kita turunkan suhu terhadap arah radial
$$\frac{dT}{dr} = \frac{d}{dr} \left[C_1 \ln \left(\frac{r}{r_o} \right) + C_2 \right]$$
$$\frac{dT}{dr} = \frac{d}{dr} \left[C_1 \ln (r) – C_1 \ln (r_o) + C_2 \right]$$
$$\frac{dT}{dr} = \frac{d}{dr} [C_1 \ln (r)] – \frac{d}{dr} [C_1 \ln (r_o)] + \frac{d}{dr} [C_2]$$
$$\frac{dT}{dr} = \frac{C_1}{r}$$
Kita gunakan hukum Fourier untuk arah radial
$$q” = -k \frac{dT}{dr}$$
$$q” = -k \cdot \frac{C_1}{r}$$
$$q” = -k \frac{C_1}{r}$$
Fluks kalor ($q”$) berbanding terbalik dengan jari-jari ($q” \propto \frac{1}{r}$). Semakin besar jari-jari $r$ (semakin ke luar), luas permukaan konduksi semakin besar, sehingga fluks kalor per satuan luas semakin mengecil. Semakin kecil jari-jari $r$ (semakin ke dalam), luas permukaan konduksi semakin kecil, sehingga fluks kalor per satuan luas semakin membesar.
Perubahan Laju Perpindahan Kalor ($q_r$) terhadap Jari-jari ($r$)
Laju perpindahan kalor total adalah hasil kali antara fluks kalor ($q”$) dengan luas penampang konduksi silinder $A_r = 2\pi r L$:
$$q_r = q” \cdot A_r$$
$$q_r = -k \frac{C_1}{r} \cdot (2 \pi r L)$$
$$q_r = -2kLC_1$$
Laju perpindahan kalor total ($q_r$) bernilai konstan (tidak berubah) terhadap jari-jari ($r$).
Berdasarkan prinsip konservasi energi pada kondisi tunak (steady-state) tanpa pembangkitan energi internal, seluruh panas yang masuk pada jari-jari dalam ($r_i$) harus sama dengan panas yang keluar pada jari-jari luar ($r_o$), sehingga nilai $q_r$ tetap konstan di sepanjang ketebalan silinder.
