Sistem silindris yang diilustrasikan memiliki variasi suhu yang dapat diabaikan pada arah $r$ dan $z$. Asumsikan bahwa $\Delta r = r_o − r_i$ bernilai kecil dibandingkan dengan $r_i$, dan nyatakan panjang pada arah $z$ (tegak lurus terhadap bidang gambar) sebagai $L$.
(a) Dimulai dengan pendefinisian volume kendali yang tepat serta mempertimbangkan efek pembangkitan dan penyimpanan energi, turunkan persamaan diferensial yang menggambarkan variasi suhu terhadap koordinat sudut $\phi$. Bandingkan hasil Anda dengan Persamaan 2.26.
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(kr \frac{\partial T}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial \phi} \left(k \frac{\partial T}{\partial \phi} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(k \frac{\partial T}{\partial z} \right) + \dot{q} = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
(b) Untuk kondisi tunak (steady-state) tanpa pembangkitan panas internal dan dengan sifat-sifat material yang konstan, tentukan distribusi suhu $T(\phi)$ dalam bentuk konstanta $T_1$, $T_2$, $r_i$, dan $r_o$. Apakah distribusi ini bersifat linear terhadap $\phi$?
(c) Untuk kondisi pada bagian (b), tuliskan persamaan untuk laju aliran panas $q \phi$.
(a) Penurunan Persamaan Diferensial 1D Arah $\phi$
Tinjau sebuah volume kendali diferensial pada cangkang silinder tipis
- Jari-jari rata-rata ($r_{m}$): $r_m = \frac{r_i + r_o}{2} \approx r_i \approx r_o$
- Panjang Busur Diferensial ($dS$): $d s = r_m \ d \phi$
- Luas Penampang Konduksi ($A_\phi$): $A_\phi = (r_o – r_i) L = \Delta r \cdot L$
- Volume Kendali ($dV$): $dV = A_\phi \cdot d s = \Delta r \cdot L \cdot r_m \ d \phi$
Kita hitung energi yang masuk
$$\dot{E}_{in} = q_\phi$$
$$\dot{E}_{in} = -k A_\phi \frac{\partial T}{r_m \partial \phi}$$
$$\dot{E}_{in} = -k (\Delta r \cdot L) \frac{1}{r_m} \frac{\partial T}{\partial \phi}$$
Kita hitung energi yang keluar
$$\dot{E}_{out} = q_\phi + \frac{\partial q_\phi}{\partial \phi}d \phi$$
$$\dot{E}_{out} = -k A_\phi \frac{\partial T}{r_m \partial \phi} + \frac{\partial}{\partial \phi} \left(-k A_\phi \frac{\partial T}{r_m \partial \phi} \right) d \phi$$
$$\dot{E}_{out} = -k (\Delta r \cdot L) \frac{1}{r_m} \frac{\partial T}{\partial \phi} + \frac{\partial}{\partial \phi} \left(-k (\Delta r \cdot L) \frac{1}{r_m} \frac{\partial T}{\partial \phi} \right) d \phi$$
Kita hitung energi yang dibangkitkan
$$\dot{E}_{gen} = \dot{q} \cdot dV$$
$$\dot{E}_{gen} = \dot{q} \cdot \Delta r \cdot L \cdot r_m \ d \phi$$
Kita hitung energi yang disimpan
$$\dot{E}_{st} = \rho c_p dV \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\dot{E}_{st} = \rho c_p (\Delta r \cdot L \cdot r_m \ d \phi) \frac{\partial T}{\partial t}$$
Berdasarkan Hukum Pertama Termodinamika:
$$\dot{E}_{in} – \dot{E}_{out} + \dot{E}_{gen} = \dot{E}_{st}$$
$$-k (\Delta r \cdot L) \frac{1}{r_m} \frac{\partial T}{\partial \phi} – \left(-k (\Delta r \cdot L) \frac{1}{r_m} \frac{\partial T}{\partial \phi} + \frac{\partial}{\partial \phi} \left(-k (\Delta r \cdot L) \frac{1}{r_m} \frac{\partial T}{\partial \phi} \right) d \phi \right) + \dot{q} \cdot \Delta r \cdot L \cdot r_m \ d \phi = \rho c_p (\Delta r \cdot L \cdot r_m \ d \phi) \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{\partial}{\partial \phi} \left(k (\Delta r \cdot L) \frac{1}{r_m} \frac{\partial T}{\partial \phi} \right) d \phi + \dot{q} \cdot \Delta r \cdot L \cdot r_m \ d \phi = \rho c_p (\Delta r \cdot L \cdot r_m \ d \phi) \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{\partial}{\partial \phi} \left(k \frac{\partial T}{\partial \phi} \right) \frac{\Delta r \cdot L}{r_m} \ d \phi + \dot{q} \cdot \Delta r \cdot L \cdot r_m \ d \phi = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} \cdot \Delta r \cdot L \cdot r_m \ d \phi$$
$$\color{blue} \frac{1}{r_m^2} \frac{\partial}{\partial \phi} \left(k \frac{\partial T}{\partial \phi} \right) + \dot{q} = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
Persamaan umum 3D dalam koordinat silinder (Persamaan 2.26):
$$\mathbf{\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(kr \frac{\partial T}{\partial r} \right) + \color{blue} \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial \phi} \left(k \frac{\partial T}{\partial \phi} \right) \color{black} + \frac{\partial}{\partial z} \left(k \frac{\partial T}{\partial z} \right) \color{blue} + \dot{q} = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}}$$
Karena gradien suhu pada arah radial ($\frac{\partial T}{\partial r} \approx 0$) dan aksial ($\frac{\partial T}{\partial z} \approx 0$) diabaikan, maka suku pertama dan ketiga bernilai nol. Suku sisanya secara tepat persis sama dengan hasil yang diturunkan di atas, dengan $r = r_m$ (konstan).
(b) Distribusi Suhu $T(\phi)$ pada Kondisi Tunak
Untuk kondisi tunak ($\frac{\partial T}{\partial t} = 0$), tanpa pembangkitan panas ($\dot{q} = 0$), dan $k$ konstan
$$\frac{d^2 T}{d \phi^2} = 0$$
Kita integrasikan dua kali untuk mendapatkan fungsi suhu
$$\int \frac{d^2 T}{d \phi^2} = \frac{dT}{d \phi} \rightarrow \int \frac{d^2 T}{d \phi^2} = C_1$$
$$\int \frac{dT}{d \phi} = T(\phi) \rightarrow T(\phi) = C_1 \phi + C_2$$
- Kita terapkan pada batas pertama, yaitu $\phi = 0$
$$T(\phi) = C_1 \phi + C_2$$
$$T(0) = C_1 (0) + C_2$$
$$T(0) = C_2 \implies \mathbf{T_1 = C_2}$$
- Kita terapkan pada batas kedua, yaitu $\phi = \pi$
$$T(\phi) = C_1 \phi + C_2$$
$$T(\pi) = C_1 \pi + T_1 \implies T_2 = C_1 \pi + T_1$$
$$T_2 – C_1 \pi – T_1 = 0$$
$$T_2 – T_1 = C_1 \pi$$
$$\frac{T_2 – T_1}{\pi} = C_1$$
Dengan substitusi konstanta, fungsi suhu akhirnya menjadi
$$\mathbf{T(\phi) = \frac{T_2 – T_1}{\pi} \phi + T_1}$$
Distribusi suhu bersifat linear terhadap koordinat sudut $\phi$.
(c) Laju Aliran Panas $q_\phi$
Kita turunkan suhu terhadap sudut
$$\frac{dT}{d \phi} = \frac{d}{d \phi} \left(\frac{T_2 – T_1}{\pi} \phi + T_1 \right)$$
$$\frac{dT}{d \phi} = \frac{d}{d \phi} \left(\frac{T_2 – T_1}{\pi} \phi \right) + \frac{d}{d \phi} (T_1)$$
$$\frac{dT}{d \phi} = \frac{T_2 – T_1}{\pi}$$
Kita gunakan hukum Fourier konduksi pada arah azimutal
$$q_\phi = -k A_\phi \frac{dT}{r_m d\phi}$$
$$q_\phi = -k \cdot A_\phi \cdot \frac{1}{r_m} \cdot \frac{dT}{d\phi}$$
$$q_\phi = -k \cdot ((r_o – r_i) L) \cdot \frac{1}{\frac{r_i + r_o}{2}} \cdot \frac{T_2 – T_1}{\pi}$$
$$q_\phi = -2k \cdot (r_o – r_i) \cdot \frac{L}{r_i + r_o} \cdot \frac{T_2 – T_1}{\pi}$$
$$\mathbf{q_\phi = \frac{2k (r_o – r_i) L (T_1 – T_2)}{\pi (r_i + r_o)}}$$
