Distribusi suhu tunak pada dinding satu dimensi dengan konduktivitas termal $k$ dan ketebalan $L$ berbentuk $T = ax^2 + bx + c$. Turunkan persamaan untuk fluks kalor pada kedua permukaan dinding $(x = 0, L)$ serta laju pembangkitan energi di dalam dinding per satuan luas dinding.
Fluks Kalor pada Kedua Permukaan Dinding
Kita turunkan suhu dengan posisi untuk pertama kalinya
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c)$$
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx}(ax^2) + \frac{d}{dx}(bx) + \frac{d}{dx}(c)$$
$$\frac{dT}{dx} = 2ax + b$$
Kita gunakan hukum Fourier pada konduksi
$$q”(x) = -k \frac{dT}{dx}$$
$$q”(x) = -k (2ax + b)$$
$$q”(x) = -2akx – bk$$
Kita substitusikan pada keadaan $x = 0$
$$q”(x) = -2akx – bk$$
$$q”(0) = -2ak(0) – bk$$
$$q”(0) = 0 – bk$$
$$q”(0) = – bk$$
Kita substitusikan pada keadaan $x = L$
$$q”(x) = -2akx – bk$$
$$q”(L) = -2ak(L) – bk$$
$$q”(L) = -2akL – bk$$
Laju Pembangkitan Energi di Dalam Dinding per Satuan Luas ($q”_{gen}$)
Kita turunkan suhu dengan posisi untuk kedua kalinya
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = \frac{d}{dx}(2ax + b)$$
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = \frac{d}{dx}(2ax) + \frac{d}{dx}(b)$$
$$\frac{d^2 T}{d x^2} = 2a$$
Kita manipulasi persamaan difusi keadaan tunak
$$k \frac{d^2 T}{d x^2} + \dot{q} = 0 \rightarrow \dot{q} = -k \frac{d^2 T}{d x^2}$$
$$\dot{q} = -k \cdot 2a \rightarrow \dot{q} = -2ak$$
Kita kalikan $\dot{q}$ dengan ketebalan dinding $L$
$$q”_{gen} = \dot{q} \cdot L$$
$$q”_{gen} = -2ak \cdot L$$
$$q”_{gen} = -2akL$$
Verifikasi Neraca Energi (Kondisi Tunak)
Berdasarkan prinsip kesetimbangan energi (steady-state energy balance):
$$\text{Fluks Keluar} – \text{Fluks Masuk} = \text{Laju Pembangkitan per Satuan Luas}$$
$$q”(L) – q”(0) = q”_{gen}$$
$$(-2akL – bk) – (-bk) = -2akL$$
$$-2akL + (-bk + bk) = -2akL$$
$$-2akL = -2akL$$
