Tinjau sebuah dinding bidang satu dimensi dengan ketebalan $2L$ yang mengalami pembangkitan kalor volumetrik seragam. Suhu permukaan dinding dijaga pada nilai $T_{s,1}$ dan $T_{s,2}$ sebagaimana ditunjukkan pada sketsa. Verifikasilah, melalui substitusi langsung, bahwa suatu persamaan berbentuk
$$T(x) = \frac{\dot{q}L^2}{2k} \left(1 – \frac{x^2}{L^2} \right) + \frac{T_{s,2} – T_{s,1}}{2} \frac{x}{L} + \frac{T_{s,1} + T_{s,2}}{2}$$
memenuhi bentuk keadaan-tunak (steady-state) dari persamaan difusi kalor. Tentukan persamaan untuk distribusi fluks kalor, $q″(x)$.
Verifikasi Persamaan Distribusi Suhu $T(x)$
Kita turunkan pertama kalinya pada suhu terhadap posisi
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx} \left[\frac{\dot{q}L^2}{2k} \left(1 – \frac{x^2}{L^2} \right) + \frac{T_{s,2} – T_{s,1}}{2} \frac{x}{L} + \frac{T_{s,1} + T_{s,2}}{2} \right]$$
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx} \left[\frac{\dot{q}L^2}{2k} – \frac{\dot{q}x^2}{2k} + \frac{(T_{s,2} – T_{s,1})x}{2L} + \frac{T_{s,1} + T_{s,2}}{2} \right]$$
$$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx} \left[\frac{\dot{q}L^2}{2k} \right] – \frac{d}{dx} \left[\frac{\dot{q}x^2}{2k} \right] + \frac{d}{dx} \left[\frac{(T_{s,2} – T_{s,1})x}{2L} \right] + \frac{d}{dx} \left[\frac{T_{s,1} + T_{s,2}}{2} \right]$$
$$\frac{dT}{dx} = 0 – \frac{2 \dot{q} x}{2k} + \frac{(T_{s,2} – T_{s,1})}{2L} + 0$$
$$\frac{dT}{dx} = -\frac{\dot{q}x}{k} + \frac{(T_{s,2} – T_{s,1})}{2L}$$
Kita turunkan kedua kalinya pada suhu terhadap posisi
$$\frac{d^2T}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left[-\frac{qx}{k} + \frac{(T_{s,2} – T_{s,1})}{2L} \right]$$
$$\frac{d^2T}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left[-\frac{qx}{k} \right] + \frac{d}{dx} \left[\frac{(T_{s,2} – T_{s,1})}{2L} \right]$$
$$\frac{d^2T}{dx^2} = -\frac{\dot{q}}{k} + 0$$
$$\frac{d^2T}{dx^2} = -\frac{\dot{q}}{k}$$
Kita manipulasi persamaan difusi kalor 1D keadaan tunak
$$k \frac{d^2 T}{dx^2} + \dot{q} = 0$$
$$\frac{d^2 T}{dx^2} + \frac{\dot{q}}{k} = 0$$
$$-\frac{\dot{q}}{k} + \frac{\dot{q}}{k} = 0$$
TERBUKTI / TERVERIFIKASI
Catatan: Substitusi batas $x = -L \implies T(-L) = T_{s,1}$ dan $x = +L \implies T(+L) = T_{s,2}$ juga memenuhi syarat batas.
Persamaan Distribusi Fluks Kalor $q”(x)$
Kita gunakan hukum Fourier pada konduksi
$$q”(x) = -k \frac{dT}{dx}$$
$$q”(x) = -k \left(-\frac{\dot{q}x}{k} + \frac{(T_{s,2} – T_{s,1})}{2L} \right)$$
$$q”(x) = \dot{q}x + \frac{k \cdot (T_{s,2} – T_{s,1})}{2L}$$
