Oksigen cair, yang memiliki titik didih $90 \text{ K}$ dan kalor laten penguapan sebesar $214 \text{ kJ/kg}$, disimpan dalam wadah berbentuk bola dengan diameter permukaan luar $500 \text{ mm}$ dan suhu permukaan $263,15 \text{ K}$. Wadah tersebut ditempatkan di dalam laboratorium yang suhu udara dan dindingnya $298,15 \text{ K}$.
(a) Jika emisivitas permukaan adalah $0,20$ dan koefisien perpindahan kalor akibat konveksi bebas pada permukaan luar wadah adalah $10 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$, berapakah laju (dalam kg/s) pengeluaran uap oksigen dari sistem tersebut?
(b) Kelembapan udara sekitar akan menyebabkan terbentuknya bunga es pada wadah, yang mengakibatkan peningkatan emisivitas permukaan. Dengan asumsi suhu permukaan dan koefisien konveksi tetap masing-masing pada $263,15 \text{ K}$ dan $10 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$, hitunglah laju penguapan oksigen (kg/s) sebagai fungsi dari emisivitas permukaan dalam rentang $0,2 \leq \varepsilon \leq 0,94$.
Untuk mencari laju perpindahan panas keseluruhan, kita menggunakan rumus
$$\dot{Q} = q_{konveksi} + q_{radiasi}$$
$$\dot{Q} = h \cdot A \cdot (T_{lab} – T_s) + \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot (T_{lab}^4 – T_s^4)$$
$$\dot{Q} = A [h \cdot (T_{lab} – T_s) + \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_s^4 – T_s^4)]$$
Untuk mencari laju penambahan panas oksigen, kita menggunakan rumus
$$\dot{Q} = \dot{m} \cdot h_{fg}$$
Sehingga untuk mencari laju aliran massa, rumus kita ubah menjadi
$$\dot{m} = \frac{\dot{Q}}{h_{fg}}$$
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Diameter Bola ($D$): $0,5 \text{ m}$
- Koefisien Konveksi ($h$): $10 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$
- Emisivitas Rendah ($\varepsilon_{rendah}$): $0,25$
- Emisivitas Tinggi ($\varepsilon_{tinggi}$): $0,94$
- Konstanta Stefan-Boltzmann ($\sigma$): $5,67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}^4$
- Suhu Laboratorium ($T_{lab}$): $298,15 \text{ K}$
- Suhu Permukaan ($T_s$): $263,15 \text{ K}$
- Kalor Laten Penguapan ($h_{fg}$): $214 \text{ kJ/kg}$
- Kalor Jenis Tekanan ($c_p$): $0,92 \text{ kJ}/\text{kg} \cdot \text{K}$
(a) Laju Pengeluaran Oksigen pada saat $\varepsilon = 0,20$
Kita hitung luas permukaan bola
$$A = \pi \cdot D^2$$
$$A = 3,14 \cdot (0,5)^2$$
$$A = 3,14 \cdot 0,25$$
$$A = 0,785 \text{ m}^2$$
Kita hitung laju perpindahan panas keseluruhan
$$\dot{Q} = A \cdot [h \cdot (T_{s} – T_{sur}) + \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_s^4 – T_{sur}^4)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [10 \cdot (298,15 – 263,15) + 0,20 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot ((298,15)^4 – (263,15)^4)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [10 \cdot 35 + 0,20 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot ((2,981 \times 10^2)^4 – (2,631 \times 10^2)^4)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [350 + 1,134 \times 10^{-8} \cdot (78,967 \times 10^8 – 47,916 \times 10^8)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [350 + 1,134 \times 10^{-8} \cdot 31,051 \times 10^8]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [350 + 35,211]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot 385,211$$
$$\dot{Q} = 302,390 \text{ W}$$
Kita hitung laju aliran massa oksigen
$$\dot{m} = \frac{\dot{Q}}{h_{fg}} \rightarrow \dot{m} = \frac{302,390}{214000} \rightarrow \color{blue} \dot{m} = 1,413 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$$
(b) Laju Pengeluaran Oksigen pada saat $\varepsilon = 0,94$
Kita hitung luas permukaan bola
$$A = \pi \cdot D^2$$
$$A = 3,14 \cdot (0,5)^2$$
$$A = 3,14 \cdot 0,25$$
$$A = 0,785 \text{ m}^2$$
Kita hitung laju perpindahan panas keseluruhan
$$\dot{Q} = A \cdot [h \cdot (T_{s} – T_{sur}) + \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_s^4 – T_{sur}^4)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [10 \cdot (298,15 – 263,15) + 0,94 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot ((298,15)^4 – (263,15)^4)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [10 \cdot 35 + 0,94 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot ((2,981 \times 10^2)^4 – (2,631 \times 10^2)^4)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [350 + 5,329 \times 10^{-8} \cdot (78,967 \times 10^8 – 47,916 \times 10^8)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [350 + 5,329 \times 10^{-8} \cdot 31,051 \times 10^8]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [350 + 165,470]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot 515,470$$
$$\dot{Q} = 404,643 \text{ W}$$
Kita hitung laju aliran massa oksigen
$$\dot{m} = \frac{\dot{Q}}{h_{fg}} \rightarrow \dot{m} = \frac{404,463}{214000} \rightarrow \color{blue} \dot{m} = 1,890 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$$
Analisis Fungsi dan Rentang Laju Aliran Massa
Kita akan menyusun fungsi aproksimasi untuk memperkirakan nilai perpindahan panas total
$$\dot{Q} = A \cdot [h \cdot (T_{s} – T_{sur}) + \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_s^4 – T_{sur}^4)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [10 \cdot (298,15 – 263,15) + \varepsilon \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot ((298,15)^4 – (263,15)^4)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [10 \cdot 35 + \varepsilon \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot ((2,981 \times 10^2)^4 – (2,631 \times 10^2)^4)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [350 + \varepsilon \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot (78,967 \times 10^8 – 47,916 \times 10^8)]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [350 + \varepsilon \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot 31,051 \times 10^8]$$
$$\dot{Q} = 0,785 \cdot [350 + \varepsilon \cdot 176,059]$$
$$\dot{Q} = 274,75 + \varepsilon \cdot 138,026$$
Kita gabungkan dengan rumus laju aliran massa untuk membentuk fungsi aproksimasi akhir
$$\mathbf{\dot{m} = \frac{274,75 + \varepsilon \cdot 138,026}{214000}}$$
Dengan mengetahui fungsi aproksimasi laju aliran massa pada kedua rentang, kita memperoleh
- $\varepsilon = 0,20 \rightarrow \dot{m} = \frac{274,75 + 0,20 \cdot 138,026}{214000} = \frac{302,355}{214000} = \color{blue} 1,412 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$
- $\varepsilon = 0,94 \rightarrow \dot{m} = \frac{274,75 + 0,94 \cdot 138,026}{214000} = \frac{404,494}{214000} = \color{blue} 1,890 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$
Sehingga kita bisa menyimpulkan rentang laju aliran massanya adalah
$$\color{blue} 1,412 \times 10^{-3} \text{ kg/s} \leq \dot{m} \leq 1,890 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$$
Untuk grafiknya, kita bisa melihat dibawah ini
