Sebuah refrigerator yang reversibel secara internal memiliki koefisien kinerja yang dimodifikasi, yang memperhitungkan proses perpindahan panas yang realistis, sebesar
$$\text{COP}_m = \frac{q_{in}}{\dot{W}} = \frac{q_{in}}{q_{out} – q_{in}} = \frac{T_{c,i}}{T_{h,i} – T_{c,i}}$$
dengan $q_{in}$ sebagai laju pendinginan refrigerator, $q_{out}$ sebagai laju pelepasan panas, dan $W$ sebagai daya masukan. Tunjukkan bahwa $COP_m$ dapat dinyatakan dalam suku-suku suhu reservoir $T_c$ dan $T_h$, hambatan termal sisi dingin dan panas $R_{t,c}$ dan $R_{t,h}$, serta $q_{in}$, sebagai
$$\text{COP}_m = \frac{T_c – q_{in}R_{tot}}{T_h – T_c + q_{in}R_{tot}}$$
dengan $R_{tot} = R_{t,c} + R_{t,h}$. Selain itu, tunjukkan bahwa daya masukan dapat dinyatakan sebagai
$$\dot{W} = q_{in} \frac{T_h – T_c + q_{in}R_{tot}}{T_c – q_{in}R_{tot}}$$
Pembuktian Rumus Pertama
Kita definisikan rumus koefisiensi performa
$$\text{COP}_m = \frac{q_{in}}{\dot{W}}$$
$$\text{COP}_m = \frac{q_{in}}{q_{out} – q_{in}}$$
$$\color{red} \text{COP}_m = \frac{T_{c,i}}{T_{h,i} – T_{c,i}}$$
Pembuktian Rumus Kedua
Hukum Pendinginan Newton didefinisikan sebagai
$$q = h \cdot A \cdot (T_s – T_{\infty})$$
Hambatan Termal didefinisikan sebagai
$$R_{th} = \frac{1}{h \cdot A}$$
Manipulasi rumusnya untuk mendapatkan rumus baru
$$q \times R_{th} = h \cdot A \cdot (T_s – T_{\infty}) \times \frac{1}{h \cdot A}$$
$$q \times R_{th} = (T_s – T_{\infty})$$
$$\color{red} q = \frac{(T_s – T_{\infty})}{R_{th}}$$
Dengan menggunakan rumus baru, kita bisa mencari perpindahan kalor sisi dingin
$$q_{in} = \frac{T_c – T_{c,i}}{R_{t,c}}$$
$$q_{in} \cdot R_{t,c} = T_c – T_{c,i}$$
$$-q_{in} \cdot R_{t,c} = – T_c + T_{c,i}$$
$$\color{red} T_{c,i} = T_c – q_{in} \cdot R_{t,c}$$
Dengan menggunakan rumus baru, kita bisa mencari perpindahan kalor sisi panas
$$q_{out} = \frac{T_{h,i} – T_{h}}{R_{t,h}}$$
$$q_{out} \cdot R_{t,h} = T_{h,i} – T_h$$
$$\color{red} T_{h,i} = T_h + q_{out} \cdot R_{t,h}$$
Karena siklus kulkas bersifat reversibel secara internal, rasio perpindahan panas sama dengan rasio temperatur absolut internalnya.
Substitusikan ke rumus perpindahan kalor sisi dingin
$$T_{h,i} = T_h + q_{out} \cdot R_{t,h}$$
$$T_{h,i} = T_h + q_{in} \frac{T_{h,i}}{T_{c,i}} \cdot R_{t,h}$$
$$T_{h,i} – T_h – \frac{q_{in} \cdot T_{h,i} \cdot R_{t,h}}{T_{c,i}} = 0$$
$$\left(T_{h,i} – \frac{q_{in} \cdot T_{h,i} \cdot R_{t,h}}{T_{c,i}} \right) – T_h = 0$$
$$T_{h,i} \left(1 – \frac{q_{in} \cdot R_{t,h}}{T_{c,i}} \right) = T_h$$
$$T_{h,i} \left(\frac{T_{c,i}}{T_{c,i}} – \frac{q_{in} \cdot R_{t,h}}{T_{c,i}} \right) = T_h$$
$$T_{h,i} \left(\frac{T_{c,i} – q_{in} \cdot R_{t,h}}{T_{c,i}} \right) = T_h$$
$$T_{h,i} \cdot (T_{c,i} – q_{in} \cdot R_{t,h}T) = T_h \cdot T_{c,i}$$
$$\frac{T_{h,i}}{T_{c,i}} \cdot (T_{c,i} – q_{in} \cdot R_{t,h}) = T_h$$
$$\color{red} \frac{T_{h,i}}{T_{c,i}} = \frac{T_h}{T_{c,i} – q_{in} \cdot R_{t,h}}$$
Susun ulang rumus koefisien performa sebelumnya
$$\text{COP}_m = \frac{T_{c,i}}{T_{h,i} – T_{c,i}}$$
$$\text{COP}_m = \frac{\frac{T_{c,i}}{T_{c,i}}}{\frac{T_{h,i}}{T_{c,i}} – \frac{T_{c,i}}{T_{c,i}}}$$
$$\text{COP}_m = \frac{1}{\frac{T_{h,i}}{T_{c,i}} – 1}$$
Substitusikan nilai yang sudah kita peroleh dari hasil manipulasi aljabar
$$\text{COP}_m = \frac{1}{\color{red}\frac{T_{h,i}}{T_{c,i}}\color{black} – 1}$$
$$\text{COP}_m = \frac{1}{\frac{T_h}{T_{c,i} – q_{in} \cdot R_{t,h}} – 1}$$
$$\text{COP}_m = \frac{1}{\frac{T_h – T_{c,i} – q_{in} \cdot R_{t,h}}{T_{c,i} – q_{in} \cdot R_{t,h}}}$$
$$\text{COP}_m = \frac{\color{red} T_{c,i} \color{black} – q_{in} \cdot R_{t,h}}{T_h – \color{red} T_{c,i} \color{black} + q_{in} \cdot R_{t,h}}$$
$$\text{COP}_m = \frac{T_c – q_{in} \cdot R_{t,c} – q_{in} \cdot R_{t,h}}{T_h – T_c + q_{in} \cdot R_{t,c} + q_{in} \cdot R_{t,h}}$$
$$\text{COP}_m = \frac{T_c – q_{in} \cdot (\color{red} R_{t,c} + R_{t,h} \color{black})}{T_h – T_c + q_{in} \cdot (\color{red} R_{t,c} + R_{t,h} \color{black})}$$
$$\color{red} \text{COP}_m = \frac{T_c – q_{in} \cdot R_{tot}}{T_h – T_c + q_{in} \cdot R_{tot}}$$
Pembuktian Rumus Ketiga
Kita definisikan rumus koefisiensi performa
$$\text{COP}_m = \frac{q_{in}}{\dot{W}}$$
$$\dot{W} \cdot \text{COP}_m = q_{in}$$
$$\dot{W} = \frac{q_{in}}{\text{COP}_m}$$
$$\dot{W} = q_{in} \cdot \frac{1}{\color{red} \text{COP}_m}$$
Substitusikan rumus koefisien performa yang sudah kita manipulasi
$$\dot{W} = q_{in} \cdot \frac{1}{\frac{T_c – q_{in} \cdot R_{tot}}{T_h – T_c + q_{in} \cdot R_{tot}}}$$
$$\color{red} \dot{W} = q_{in} \cdot \frac{T_h – T_c + q_{in} \cdot R_{tot}}{T_c – q_{in} \cdot R_{tot}}$$
