Sebuah kumparan (coil) dengan impedansi $8 + j6 \text{ }\Omega$ dihubungkan secara seri dengan sebuah reaktansi kapasitif $X$. Kombinasi seri tersebut kemudian dihubungkan secara paralel dengan sebuah resistor $R$. Diketahui bahwa impedansi ekivalen dari rangkaian keseluruhan adalah $5 \angle 0^\circ \text{ }\Omega$, tentukan nilai dari $R$ dan $X$.
Soal ini membutuhkan penyelesaian yang kompleks, tetapi bisa kita buat menjadi jauh lebih sederhana
Impedansi Rangkaian Seri
Rangkaian seri tersusun dari $8 + j6 \text{ }\Omega$ dan $-jX$
$$Z_s = Z_{coil} + Z_C$$
$$Z_s = 8 + j6 – jX$$
$$Z_s = 8 + j(6 – X)$$
Impedansi Rangkaian Paralel
Rangkaian paralel terdiri dari $Z_s$ dan $R$
$$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{Z_s}$$
$$\frac{1}{5} = \frac{1}{R} + \frac{1}{8 + j(6 – X)}$$
Selesaikan Persamaan
Ingat bagaimana cara merasionalisasi bilangan pecahan
$$\frac{a \pm b}{c + d} = \frac{a \pm b}{c + d} \times \frac{c – d}{c – d}$$
$$\frac{a \pm b}{c – d} = \frac{a \pm b}{c – d} \times \frac{c + d}{c + d}$$
Kita rasionalisasi pecahan imajiner tersebut
$$\frac{1}{8 + j(6 – X)} \times \frac{8 – j(6 – X)}{8 – j(6 – X)}$$
$$\frac{8 – j(6 – X)}{(8 + j(6 – X))(8 – j(6 – X))}$$
- Ingatlah kalau $(a + b)(a – b) = (a^2 – b^2)$
- Ingatlah kalau $j^2 = -1$
- Misalkan $a = 8$
- Misalkan $b = j(6 – X)$
Kita selesaikan penyebutnya
$$(8 + j(6 – X))(8 – j(6 – X)) = ((8)^2 – (j(6 – X))^2)$$
$$(8 + j(6 – X))(8 – j(6 – X)) = 64 – j^2(6 – X)^2$$
$$(8 + j(6 – X))(8 – j(6 – X)) = 64 + (6 – X)^2$$
Kita selesaikan pembagiannya
$$\frac{8 – j(6 – X)}{64 + (6 – X)^2}$$
Kita susun ulang hasilnya tadi
$$\frac{1}{5} = \frac{1}{R} + \frac{8 – j(6 – X)}{64 + (6 – X)^2}$$
Kita bisa pecahkan bagian perhitungan menjadi
$$\frac{1}{5} = \frac{1}{R} + \left[\frac{8}{64 + (6 – X)^2} \right] + j \left[\frac{-(6 – X)}{64 + (6 – X)^2} \right]$$
Karena $Z_{eq} = 5$ (murni riil), maka bagian imajiner pada sisi kanan haruslah nol
$$\frac{-(6 – X)}{64 + (6 – X)^2} = 0$$
Karena penyebut tidak boleh bernilai nol, maka pembilang yang harus bernilai nol
$$6 – X = 0 \implies X = 6 \ \Omega$$
Hitung Nilai Hambatan
Persamaan sekarang adalah
$$\frac{1}{5} = \frac{1}{R} + \frac{8}{64 + (6 – X)^2}$$
Substitusi nilai $X = 6$
$$\frac{1}{5} = \frac{1}{R} + \frac{8}{64 + (6 – 6)^2}$$
$$\frac{1}{5} = \frac{1}{R} + \frac{8}{64 + 0}$$
$$0,2 = \frac{1}{R} + 0,125$$
$$\frac{1}{R} = 0,2 – 0,125 = 0,075$$
$$R = \frac{1}{0,075} = \mathbf{13,33 \ \Omega}$$
