Tentukan nilai $v(t)$ dari persamaan integrodiferensial berikut ini dengan menggunakan pendekatan fasor:
(a) $\displaystyle v(t) + \int v \, dt = 5 \cos(t + 45^\circ) \text{ V}$
(b) $\displaystyle \frac{dv}{dt} + 5v(t) + 4 \int v \, dt = 20 \sin(4t + 10^\circ) \text{ V}$
Caranya kurang lebih adalah dengan transformasi fasor, operasi kalkulus fasor, menggunakan teknik aljabar, dan mengembalikan ke domain waktu.
Kunjungi artikel sebelumnya untuk mencari pemahaman yang mendalam.
(a) $\displaystyle v(t) + \int v \, dt = 5 \cos(t + 45^\circ) \text{ V}$
Identifikasi Parameter
Kita dapat mengidentifikasi kecepatan sudut
$$\omega = 1Â \text{ rad/s}$$
Kita harus mencari bentuk fasor
$$V = 5 \cos(t + 45^\circ)$$
$$V = 5 \angle 45^\circ$$
Transformasi Menjadi Domain Fasor
Ingat beberapa aturan ini
$$v(t) = \mathbf{V}$$
$$\int v dt \rightarrow \frac{\mathbf{V}}{j\omega}$$
Maka hasilnya menjadi
$$v(t) + \int v dt = V + \frac{V}{j\omega}$$
Buat menjadi persamaan umum
$$V + \frac{V}{j(1)} = 5 \angle 45^\circ$$
$$V – jV = 5 \angle 45^\circ$$
$$V(1 – j) = 5 \angle 45^\circ$$
Catatan: ingat aturan $\frac{V}{j\omega} = -j \frac{V}{\omega}$ karena $\frac{1}{j} = -j$
Transformasi Menjadi Domain Polar
Ubah dahulu $1 – j$ menjadi bentuk polar
$$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} = 1,414$$
$$\theta = \tan^{-1}((-1)/1) = \tan^{1}(1) = -45^\circ \text{(Kuadran II)}$$
$$1,414 \angle -45^\circ$$
Ubah kembali persamaannya
$$V(1,414 \angle -45^\circ) = 5 \angle 45^\circ$$
Cari kembali nilai V
$$V = \frac{5 \angle 45^\circ}{1,414 \angle -45^\circ}$$
$$V = \frac{5}{1,414} \angle (45^\circ + 45^\circ)$$
$$V = 3,536 \angle 90^\circ$$
Transformasi Menjadi Domain Waktu
$$\mathbf{v(t) = 3,536 \cos(t + 90^\circ) \text{ V}}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
(b) $\displaystyle \frac{dv}{dt} + 5v(t) + 4 \int v \, dt = 20 \sin(4t + 10^\circ) \text{ V}$
Identifikasi Parameter
Kita dapat mengidentifikasi kecepatan sudut
$$\omega = 4 \text{ rad/s}$$
Kita harus mencari bentuk fasor
$$20 \sin(t + 10^\circ) = 20 \cos(t – 80^\circ)$$
$$V = 20 \cos(t – 80^\circ)$$
$$V = 20 \angle -80^\circ$$
Transformasi Menjadi Domain Fasor
Ingat beberapa aturan ini
$$\frac{dv}{dt} \rightarrow j\omega \mathbf{V}$$
$$v(t) = \mathbf{V}$$
$$\int v dt \rightarrow \frac{\mathbf{V}}{j\omega}$$
Maka hasilnya menjadi
$$\frac{dv}{dt} + 5v(t) + 4\int v dt = j\omega \mathbf{V } + 5\mathbf{V} + 4\frac{\mathbf{V}}{j\omega}$$
Ubah persamaan tersebut
$$\text{Hasil} = 5\mathbf{V} + (j\omega\mathbf{V}) + \left(4\frac{\mathbf{V}}{j\omega}\right)$$
$$\text{Hasil} = \mathbf{V} \left( 5 + j\omega + \frac{4}{j\omega} \right)$$
Subtitusikan nilai $\omega = 4$:
$$\mathbf{V} \left( 5 + j \times 4 + \frac{4}{j \times 4} \right)$$
$$\mathbf{V} (5 + j4 – j)$$
$$\mathbf{V} (5 + j3)$$
Trasnsformasi Menjadi Domain Polar
Ubah dahulu bentuk rektangular menjadi bentuk polar
$$r = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} = 5,830$$
$$\theta = \tan^{-1}(3/5) = \tan^{-1}(0,6) = 30,96^\circ$$
$$5,830 \angle 30,96^\circ$$
Bagikan persamaan tersebut
$$\frac{20 \angle -80^\circ}{5,830 \angle 30,96^\circ} = \frac{20}{5,830} \angle (-80^\circ – 30,96^\circ)$$
$$\frac{20 \angle -80^\circ}{5,830 \angle 30,96^\circ} = 3,430 \angle -110,96^\circ$$
Transformasi Menjadi Domain Waktu
$$\mathbf{v(t) = 3,430 \cos(4t – 110,96^\circ) \text{ V}}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
